水仙花開遍異世界
自戀數
有些數，我們把各數字 (Digit) 的乘冪 (Power) 求和，而冪數則是該數的位數。若結果剛巧和原來的數相同，我們便稱這些數為「自戀數」或「水仙花數」(Narcissistic Number) ，亦有人稱此數為「岩士唐數」(Armstrong Number)。
看看一例子吧！
370：33 + 73 + 03 = 370。
92727：95 + 25 + 75 + 25 + 75 = 92727。
此數最先由數學家麥達奇 (Joseph S. Madachy) 在 1966 年提出，他稱這些數為超完全數字不變數 (Pluperfect Digital Invariant 或 PPDI) 或簡單稱為自戀數或水仙花數或岩士唐數。
為何會把水仙花和自戀連上關係呢？那得說說故事了，依據希臘傳說，納西斯 (Narcissus) 是一個美男子，常常在池邊流連，欣賞自己的倒影。山林女神愛歌 (Echo) 愛上了他，苦苦追求，但納西斯卻對愛歌不瞅不睬。女神失戀以後，終日鬱鬱不歡，遠離同伴。愛神維納斯 (Venus) 知道此事以後，她一方面為愛歌的不知自愛而惱恨，罰她不能說話，只能重覆她所聽到的最後的聲音。另一方面，她也決定對納西斯作出懲治。維納斯把納西斯的影子變成絕色美女，納西斯因此愛得發狂，可算是世上最早的自戀狂了。他日夜守在水旁，不思飲食，更不睡覺，終於憔悴而死。別的神仙也對納西斯的死感到可惜，於是把他變成水仙花，讓他美下去。是故水仙花的英文名也是 Narcissus。
數學中的「異世界」
當然我們剛才所談的自戀數是在十進制 (Decimal Numeral System) 的世界下展現著她獨有的美感，若然把 370 移到別的「世界」或別的進制 (Numeral System) 下，這數也不會再有原來的那份美感了。相反，有一些數在別的進制下呈現自戀數的特性，現在便由我引路，為閣位介紹一下這些「異世界」的水仙花來。
首先任何獨位數 (Single-digital Number) 也是自戀數，當然我們看到十進制中的 9 ，在六進制下便變成了 13(6)，也不再獨位了。但在六進制 (Senary Numeral System) 下 1 至 5 仍是獨位的，自戀數的身份仍保持不變。在六進制下，自戀數還有 99、190、2292、2293、3432 等，這兒的數字全是十進制的。 但留意，在「異世界」的水位花不會無限生長，因自戀數本身的位數本來便是有限數，在別的進制也一樣，所以在別的進制下的自戀數同樣是有限數。
下表列寫部份進制下的部份自戀數，以作參考：
| 進制 | 例子 (如非必要，獨位數不列。) |
自戀數個數 | 最大的自戀數 (以十進制表示，括號內為該進制表示) |
OEIS |
| 2 | 1 | 1 | 1 (1) | |
| 3 | 1, 2, 5, 17 | 4 | 17 (122) | |
| 4 | 28, 35, 43, 62, 243 | 11 | 243 (3303) | A010344 |
| 5 | 18, 28, 353, 4890, 9113 | 17 | 2415951874 (14421440424444) |
A010346 |
| 6 | 99, 190, 2324, 6197, 36140 | 30 | 19418246235419 (105144341423554535) |
A010348 |
| 7 | 10, 250, 3222, 9286, 35411 | 59 | 5528252581301500133 (12616604301406016036306) |
A010350 |
| 8 | 20, 52, 133, 432, 25639 | 62 | 22576559626136290521807162 (112554613377540170731271074472) |
A010354 |
| 9 | 41, 468, 469, 8082, 9857 | 58 |
4997059916255135935307115148 (104836124432728001478001038311) |
A010353 |
| 10 | 153, 371, 1634, 8208, 92727 | 88 |
115132219018763992565095597973971522401 (115132219018763992565095597973971522401) |
A005188 |
| 11 | 61, 72, 855, 1216, 17865 | 134 |
8017673815273748650049141076488293469804187443 (12344AA12A721803422912A8AA4963568083A268456A4) |
A161948 |
| 12 | 29, 811, 944, 1539, 28733 | 87 | 1293322607944228808282129427891480792237400471799755787 (15079346A6B3B14BB56B395898B96629A8B01515344B4B0714B) | A161949 |
| 13 | 17, 793, 794, 8194, 62481 | 201 |
7454638481880403945403891592706887301792278612201110020393000661315 (1116BC19923A81C1CC02918093CC63C0CC93CB3387537BC8064A7937BB165) |
A161950 |
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Narcissistic Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/NarcissisticNumber.html.
Wikipedia. "Perfect Digit-to-digit Invariant." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_digit-to-digit_invariant.
王青建 "自戀數"自 數學開心辭典 , 北京：科學出版社, pp 11, 2008
王青建 "自戀數的推廣"自 數學開心辭典 , 北京：科學出版社, pp 12, 2008
談祥柏 "水仙花數"自 樂在其中的數學 , 北京：科學出版社, pp 282-286, 2005
談祥柏 "水仙花數，黑洞與振盪"自 數學不了情 , 北京：科學出版社, pp 195-198, 2010
