另一個世界的哈沙德數

「所有涉及數字的問題，也是進制 (Numeral System) 的問題。」

原因很簡單，因為同一數值在不同的進制下便有不同的表示方式。直接來說，所呈現的數字也有所不同。

哈沙德數 (Harshad Number) 的問題也是一樣的。

　

如在十進制下，100 是哈沙德數；但在二進制下，100 則表示為 1100100₂，其數字總和為 3 ，不再是 100 的因子，即 100 在二進制下不是哈沙德數。

反過來，亦有一些數在別的進制下是哈沙德數，但在十進制的世界裡不是：

如 14 在十進制下，其數字總和為 5，不是哈沙德數；但在七進制的世界裡，其表示為 20₇， 數字總和為 2，是 14 的因子，即在七進制的異世界裡，14 是哈沙德數了。

　

如一數在二進制是哈沙德數，我們稱為 2-哈沙德數 (2-Harshad Number)；如在三進制是哈沙德數，叫 3-哈沙德數 (3-Harshad Number)；如在 n 進制是哈沙德數，則是 n-哈沙德數 (n-Harshad Number)。我們常稱的哈沙德數，是指十進制下的哈沙德數。

　

若一數在任何進制下都是哈沙德數的話，我們便稱之為全哈沙德數 (All - Harshad Number)。留意個整數 N 若放進 B - 進制中，其中 B > N ，則該數便是單位數，亦即是自然成存了哈沙德數的條件。若 B = N，N 亦會顯示成 10_B， 其數字總和為 1，滿足了哈沙德數的條件。由此，我們只用考慮 B < N 的情況便可以了。下表列出首 9 個數的測試結果：

數值	二進制	三進制	四進制	五進制	六進制	七進制	八進制	九進制
2	10
3	11	10
4	100	11	10
5	101	12	11	10
6	110	20	12	11	10
7	111	21	13	12	11	10
8	1000	22	20	13	12	11	10
9	1001	100	21	14	13	12	11	10
10	1010	101	22	20	14	13	12	11

註：當中紅字者為該進制下的哈沙德數，表中代表進制的細數字從略。

　

表中，能夠使全部數字反紅的便是全哈沙德數，僅 2、4、6，再向更大數值尋找也是徒然的。連同不用測試的 1 ，我們就只有 1, 2, 4, 6 這四個全哈沙德數了。

　

順道一提，美國數學普及學者馬丁．加德納 (Martin Gardner 1914- 2010) 曾創作過這樣的一道數學智力題：

10, 11, 12, 13, 14, 20, 22, ?, 1010

猜猜「?」代表什麼數字？

　

看罷本章，說得清楚一點，是上表的末行，大家應該猜到了。不錯啊！答案便是 101 了。

　

參考文獻及網址：

Wikipedia. "Harshad Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Harshad_number.