史密夫數

史密夫數的由來

1982年，威蘭斯基 (Albert Wilansky) 從其姐夫哈羅德．史密夫 (Harold Smith) 的電話號碼 (4937775) 中找到了數學靈感：

4937775 = 3*5*5*65837

威蘭斯基發現把 4937775 各數字相加，即數字總和 (Sum of Digits) 簡記 S_P(4937775) = 4+9+3+7+7+7+5 = 42

正好和其素因子的數字總和 (Sum of Digits of Prime Divisors)，即 S(4937775) = 3+5+5+(6+5+8+3+7) = 42 相等。

　

威蘭斯基發現這奇妙關係並把這數稱為史密夫數 (Smith Number) 。平凡地說，所有素數都符合史密夫數的定義，但對於史密夫數應否包括素數，則存在著不同的意見：英國數學家蓋伊 (Richard Kenneth Guy 1916 - ) 在其著作《數論中未解決的問題》中指素數是史密夫數中的一員，即把史密夫數定義在全體自然數上；但 MathWorld 中的解說卻認為素數不屬史密夫數，即史密夫數是只定義在合數之上。素數是不是史密夫數，這不過是不同人的定義有別。其實這是不重要的，因本人以為素的史密夫數不見得有什麼研究價值，所以我們會著眼於一些史密夫合數。以下所謂的史密夫數，如非特別聲明，均指合數 (Composite Number)。

　

在 10000 以內，我們就有 376 個史密夫數，而在 10¹⁰ 以內則多達 241882509個。

下列 1000 以內的史密夫數：

4	22	27	58	85	94	121	166	202	265
274	319	346	355	378	382	391	438	454	483
517	526	535	562	576	588	627	634	636	645
648	654	663	666	690	706	728	729	762	778
825	852	861	895	913	915	922	958	985	......

(OEIS A006753 )

其中野獸數 (Beast Number) 666 也是史密夫數一員，關於 666 的事，可參看《三陸奇談》一文。

　

在 1987年，數學家麥丹尼爾 (Wayne McDaniel) 證明了史密夫數亦有無限個之多。

　

史密夫半素數

在眾多史密夫數當中，有一些只有兩個素因子，我們稱為史密夫半素數 (Smith Semiprime)，(有關半素數 Semiprime 的定義及淺介，可參閱另文《不是素數的殆素數》)

下列 1000 以內的史密夫半素數：

4	22	58	85	94	121	166	202	265	274
319	346	355	382	391	454	517	526	535	562
634	706	778	895	913	922	958	985	......

(OEIS A098837 )

　

迴文史密夫數

如 22、121等，自左至右或右至左看也是一樣的數字，我們稱為迴文數 (Palindromic Number)。我們又可從史密夫數中找到 迴文史密夫數 (Palimdromic Smith Number)。

如 4, 22, 121, 202, 454, 535, 636, 666 等。(OEIS A098834 )

　

也有這樣的一對： 58 和 85 ，我們稱為可逆史密夫數 (Reversible Smith Number)：

如 58, 85, 265, 319, 562, 913 等。(OEIS A104171 )

當然，迴文數是可逆數 (Reversible Number)的一個子集，故上例不把迴文史密夫數再列。

(有關此兩類數的資料，可參看另文《迴文素數》)

　

史密夫純位數

還有這些：

4,

22,

666,

1111,

6666666,

4444444444,

44444444444444444444,

555555555555555555555555555,

55555555555555555555555555555555,

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444 等。

這是史密夫純位數 (Repdigit Smith Number)。

　

純位數只有一種數字，和這相反的稱為泛位數 (Pandigital Number) ，即所有數字皆有所見 (詳可參看另文《集齊所有數字的數 - 泛位數》) 。而 1023465798 和 9876542103 便是兩個史密夫泛位數 (Pandigital Smith Number)，而 123456879 和 987653214 便是兩個史密夫缺零泛位數 (Zeroless Pandigital Smith Number)。

　

研究合數的方向

史密夫數的特質，和其素因子分解式 (Prime Factorization) 有關，亦和其數字總和相連，故史密夫數的研究 更見複雜。當然我們亦可單純的看史密夫數為合數的一員，合數遠比素數多，也許研究的問題可更多。也許有人以為史密夫數和 迴文數、半素數不帶任何關係，然而從探究史密夫數和這些不同定義數的關係，我們便會對史密夫數會更加了解的。

　

參考文獻及網址：

Gupta, S. S. "Smith Numbers." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/smith.htm.

Guy, R. K. "Smith Numbers." §B49 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 103-104, 1994.

Pickover, C. A. "A Brief History of Smith Numbers." Ch. 104 in Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 247-248, 2001.

Weisstein, E. W. "Smith Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SmithNumber.html.