變種史密夫
N - 史密夫數
在 1987年，數學家麥丹尼爾 (Wayne McDaniel) 證明了史密夫數亦有無限個之多。同時麥丹尼爾亦作了一個關於 N - 史密夫數 (N - Smith Number) 的定義 ：
本身數字總和 = N * 素因子數字總和
Sp(m) = N * S(m)
如 42，42 = 2*3*7；4+2 = 6 及 2+3+7 = 12 ：所以 42 是一個 2 - 史密夫數。
自然地，若取 N=1，和我們談及的普通史密夫數無異，故本章不作冗論。
下表把一些 N-史密夫數 (k不少於 2) 列出：
N |
N - 史密夫數 |
斯洛恩數列 |
在 109 內的個數 |
2 |
32, 42, 60, 70, 104, 152, 231, 315, 316, 322, 330, 342, 361, 406, 430, ...... | 2824644 |
|
3 |
402, 510, 700, 1113, 1131, 1311, 2006, 2022, 2130, 2211, 2240, 3102, ...... | 147982 |
|
4 |
2401, 5010, 7000, 10005, 10311, 10410, 10411, 11060, 11102, 11203, ...... | 13609 |
|
5 |
2030, 10203, 12110, 20210, 20310, 21004, 21010, 24000, 24010, 31010, ...... | 4204 |
至於在 109 內的 6、7、8 - 史密夫數分別有 1238、409 和 218 個，而最小的分別是：10112、10 和 200。
N-1 - 史密夫數
數學家麥丹尼爾亦定義了 N-1 - 史密夫數 (N-1 - Smith Number)，即：
Sp(m) = N-1 * S(m)
如 88，88 = 2*2*2*11；8+8= 16， 2+2+2+1+1 = 8 ：所以 88 是一個 2-1 - 史密夫數。
同理 N=1，即普通的史密夫數，本章不談了。
N |
N-1 - 史密夫數 |
斯洛恩數列 |
在 109 內的個數 |
2 |
88, 169, 286, 484, 598, 682, 808, 844, 897, 961, 1339,1573, 1599, ...... | 1087152 |
|
3 |
6969, 19998, 36399, 39693, 66099, 69663, 69897, 89769, 99363, 99759, ...... | 6575 |
|
4 |
19899699 , 36969999 , 36999699 , 39699969 , 39999399 , 39999993, ...... | 251 |
|
5 |
399996663, 666609999, 669969663, 690696969, 699966663, ...... | 5 |
麥丹尼爾猜測，對於任何 N>1，這是有無限個 N-1 - 史密夫數。
參考文獻及網址：
Gupta, S. S. "Smith Numbers." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/smith.htm.
McDaniel, W. L. "The Existence of Infinitely Many -Smith Numbers." Fib. Quart., 25, 76-80, 1987a.
McDaniel, W. L. "Powerful K-Smith Numbers." Fib. Quart. 25, 225-228, 1987b.
