在多邊形中心呼喚素數 - 形數與素數

中心多邊形數

我們得先解釋何謂「中心多邊形數」(Centered Polygonal Number),且看下圖先吧!

 

上圖分別是中心三角形數 (Centered Triangular Number) 、中心正方形數 (Centered Square Number) 、中心五邊形數 (Centered Pentagonal Number) 和中心六邊形數 (Centered Hexagonal Number) 的圖象。留意中心多邊形數和多邊形數 (Polygonal Number) 是不同的。

那麼什麼是中心多邊形數呢?所謂中心多邊形數是指一由多層同心的多邊形組成的形數 (Figurate Number)。

 

有什麼例子呢?且看下表:

數列
例子 (首10個數)
通項公式
生成函數
OEIS
中心三角形數
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136
3n(n-1)/2+1
中心正方形數
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181
2n(n+1)+1
中心五邊形數
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276
5n(n+1)/2+1
中心六邊形數
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271
3n(n+1)+1

上表中列出各類中心多邊形數的通項公式及生成函數 (Generating Function)。

 

看罷上表以後,大家不難找出當中不乏素數 (Prime Number),如

中心三角形數中的 19, 31, 109,以後的如 199, 409, 571, 631 和 829 等也是素數,我們稱為中心三角形素數 (Centered Triangular Prime);

中心正方形數中的 5, 13, 41, 61, 113, 181,以後的如 313, 421, 613, 和 761 等也是素數,我們稱為中心正方形素數 (Centered Square Prime);

中心五邊形數中的 31, 181,以後的如 331 和 601 等也是素數,我們稱為中心五邊形素數 (Centered Pentagonal Prime);

 

中心六邊形數中的 7, 19, 37, 61, 127, 271,以後的如 331, 397, 547, 631 和 919 等也是素數,我們稱為中心六邊形素數 (Centered Hexagonal Prime)。若看過另文《古巴人的素數》的朋友們,不難發現這中心六邊形素數和立方素數 (Cuban Prime) 要是相同。你沒看錯,它們真的一樣。至於為何,也不難解釋,因為我們把首 N 項的中心六邊形數加起來便是 N3 ,自然地每一個中心六邊形數也可寫成兩相鄰的立方數 (Cubic Number) 之差了。

 

讀者或會感奇,為何不談普通的多邊形數,而要談那中心多邊形數呢?原因很簡單,普通的多邊形數,如三角形數通項公式為 n(n+1)/2,大數必然可以分解,故無存素數,所以也不合我們談「素」的主題了。

 

費馬多邊形數定理

讓我離開中心多邊形數,回到「普通」的多邊形數之上。原來對數學貢獻良多的業餘數學王子費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665)  也曾研究過形數,還提出了「費馬多邊形數定理」 (Fermat Polygonal Number Theorem),即任何一個整數皆可分拆為最多 n 個 n 邊形數的總和。當中,若取 n = 4,便是著名的四平方定理 (Lagrange's Four-square Theorem),即任何一個整數皆可分拆成最多四個平方數的總和。

且先看一些例子,

2014 = 1953 + 55 + 6, 其中 6, 55 和 1953 分別為第三、十、六十二個三角形數 (Triangular Number),

2014 = 1936 + 49 + 25 + 4, 其中 4, 25, 49, 1936 分別為第二、五、七、四十四個正方形數 (Square Number),

2014 = 1926 + 70 + 12 + 5 + 1,其中 1, 5, 12, 70, 1926 分別為第一、二、三、七、三十六個五邊形數 (Pentagonal Number)等。

 

此定理由拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange 1736-1813) 於 1770 年證明了正方形數部分,高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777-1855) 在 1796 年證明了三角形數部分,最後由柯西 (Augustin Louis Cauchy 1789-1857) 於 1813 年完全證明。

 

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Hex Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HexNumber.html.

Weisstein, E. W. "Centered Pentagonal Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredPentagonalNumber.html.

Weisstein, E. W. "Centered Polygonal Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredPolygonalNumber.html.

Weisstein, E. W. "Centered Square Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredSquareNumber.html.

Weisstein, E. W. "Centered Triangular Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredTriangularNumber.html.