一種對稱美 - 利蘭素數

利蘭素數

當我看見利蘭數 (Leyland Number) 的定義時，我首先感受到的是一種對稱美。利蘭數的定義不算複雜，它不過指型如 x^y + y^x 是整數 ，其中規定 x, y 兩數均大於 1。由於不失一般性，我們可以假設 x 不少於 y。

x, y 兩數均大於 1 這要求是必要的，因為若沒有這個規限，所有數均可以寫成 1^x + x¹，即所有數均是利蘭數了。

　

利蘭數最先由利蘭 (Paul Leyland) 研究，他還建立了一個名為「XYYXF」的計劃來統籌研究利蘭數的素性 (Primality) 和利蘭合數 (Leyland Composite) 分解 (Factorization)。也許如此，此數種因而得名。

　

利蘭素數 (Leyland Prime) 便是利蘭數當中的素數 (Prime Number) ，如 17, 593, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (OEIS A094133)。

它們相對於 (x, y) = (3, 2) , (9, 2) , (21, 2) , (33, 2) , (24, 5) , (56, 3) , (32 ,15)。

　

我們利用同餘的知識不難證明得到利蘭素數的基數，即那對 (x,y) 一定要滿足下列幾個條件：

    (x, y) = 1；

   (x, y) 為一奇一偶 ；

   (x, y) 中一個也只有一個是 3 的倍數。

由此可知 17 =  2³ + 3² 是唯一的素數三元組。

　

改了一個符號

若我們把利蘭數的數型中的加號改為減號又如何？這便是另一種型式的數來，型如  x^y - y^x 是整數

和利蘭數一樣，我們規定 x, y 兩數均大於 1。我們還得要求 x 少於 y，這才可保證該數為正。

和利蘭素數一樣，該數若為素數得符合兩個要求即 (x, y) = 1 及 (x, y) 為一奇一偶。

該類素數包括 7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, ... (OEIS A123206)。

它們相對於 (x, y) = (2, 5) , (3, 4) , (2, 7) , (2, 9) , (3, 10) , (2, 17) , (6, 7) , (2 ,19) , (9, 10) , (5 ,14)。

　

參考文獻及網址：

Wikipedia. "Leyland Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Leyland_number.