小素民族

威爾遜素數

英國數學家威爾遜 (John Wilson 1741-1793) 爵士在其給另一英國數學家華林 (Edward Waring 1736-1798) 的信中提及一個素數判別法則,詳見《沒人會用的判別法》一文。

 

我們把威爾遜定理 (Wilson's Theorem) 即:(p-1)!+1 = 0 (mod p) ,式中 (p-1)! 為 (p-1)的階乘 (Factorial) ,即是 (p-1)*(p-2)*(p-3)*...*3*2*1,p為一素數。上式是指對所有素數 p, (p-1)!+1 皆可被 p 整除。但當除以 p2 又怎麼樣?若符合,即

(p-1)!+1 = 0 (mod p2)

我們便稱此類素數為威爾遜素數 (Wilson Prime)。數學家克蘭特爾 (Richard E. Crandall 1947- ) 、迪切爾 (Karl Dilcher) 及 波門倫斯 (Carl Pomerance 1944 - ) 在 5*108 以內搜索,只發現 5、13 和 563 三個威爾遜素數 (OEIS A007540 ) 。

 

韋伊費列治素數

韋伊費列治素數 (Wieferich Prime) 即一素數符合下式:

2p-1 = 1 (mod p2)

其實這是費馬小定理 (Fermat's Little Theorem) ,即 2p-1 = 1 (mod p) ,的一個特例。

 

早在 1909年,德國數學家韋伊費列治 (Arthur Wieferich 1884-1954) 證明: x, y, z 是整數同時 p 是素數使得 xp + yp + zp = 0,並且 p 不能整除 xyz,那麼 p 就是韋伊費列治素數。

費馬小定理而言,所有奇素數皆符合;但不是所有奇素數皆是韋伊費列治素數。數學家克蘭特爾、迪切爾 及 波門倫斯 只發現了 1093、 3511。這是在 4*1012 中惟一的兩個例子 (OEIS A001220)。

 

特別地,數學家把發現這兩個僅有的例子有一些共通點:在它們減去 1 的偶數的二進制表示式中找到某一程度的規律。

1092 = 100010001002

3510 = 1101101101102

未知這是巧合,還是韋伊費列治素數一必然特性。畢竟這類素數太少了,我們實難定斷。

 

別的數學家把這定義擴充,不限以 2 為底,任何素數也可為底:

pq-1 = 1 (mod q2) 及 qp-1 = 1 (mod p2)

若上兩式同時對素數 p 及 q 成立,則 (p,q) 稱作雙韋伊費列治素數對 (Double Wieferich Prime Pair) 。現在知道的例子僅有:(2, 1093), (3, 1006003), (5 , 1645333507), (83, 4871), (911, 318917) 及 (2903, 18787)。

 

羅馬尼亞數學家米赫利斯古 (Preda V. Mihailescu 1955 - ) 指出在找尋卡塔蘭不定方程 (Catalan's Diophantine Equation) xp - yq = ± 1 的解時,x、y 為整數且 p、q 為大於 3 的素數,這 (p,q) 必為雙韋伊費列治素數對。

 

沃爾斯滕霍爾姆素數

1862 年,英國數學家沃爾斯滕霍爾姆 (Joseph Wolstenholme) 證明了一個有趣的結果:

若 p 為不少於 5 的素數則 由 1 至 p-1 的倒數和的分子可被 p2 整除;

而另一方面,由 1 至 p-1 的平方倒數和的分子則可被 p 整除。

這一性質我們現稱為沃爾斯滕霍爾姆定理 (Wolstenholme Theorem),這亦為所有不少於 5 的素數均符合 。

 

但若我們把模的次方提高一次的話,便得下式:

所謂沃爾斯滕霍爾姆素數 (Wolstenholme Prime) 是指一素數若乎合上式。

 

這是關於中央二項式系數 (Central Binomal Coefficient) 的。

或等價於:

其中上式中的 Bn 為第 n 個伯努利數 (Bernoulli Number),

當一素數 p > 7 時,該素數若為沃爾斯滕霍爾姆素數須符合下式:

但可惜至今,我們只知有 16843 和 2124679 兩個沃爾斯滕霍爾姆素數 (OEIS A088164),其中 16843 是由塞爾弗里奇 (John L. Selfridge 1953- ) 和 保歷克 (Pollack) 於 1964年找到的,而 2124679 則是由克蘭特爾 (Richard Crandall)、埃華爾 (Reijo Ernvall) 及 米辛基拉 (Tauno Metsqnkyla) 於 1993 年發現的。

 

數學家麥因杜殊 (Richard McIntosh) 已證在 109 內沒有其他沃爾斯滕霍爾姆素數,但他卻猜想有無限多個沃爾斯滕霍爾姆素數,但證明可不易。

 

參考文獻及網址

Guy, R. K. §A3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1994.

Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991

Ribenboim, P. "Wieferich Primes." §5.3 in The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, pp. 333-346, 1996.

Ribenboim, P. "Wilson Primes." §5.4 in The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, pp. 346-350, 1996.

Weisstein, E. W. "Bernoulli Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html.

Weisstein, E. W. "Double Wieferich Prime Pair." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/DoubleWieferichPrimePair.html.

Weisstein, E. W. "Wieferich Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/WieferichPrime.html.

Weisstein, E. W. "Wilson Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/WilsonPrime.html.

Weisstein, E. W. "Wilson Quotient." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/WilsonQuotient.html.

Weisstein, E. W. "Wolstenholme Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/WolstenholmePrime.html.