自然對數底與素數

自然對數

自然對數底 (Base of Natural Logarithm) e 是我們數學中一常用的常數 (Constant),和圓周率 p 不相伯仲。

對數 (Logarithm) 在沒有計算機的時代減少了人們不少計算之苦,但人們常用的是常用對數 (Common Logarithm),即以 10 為底的對數,簡記 log(x)。這是什麼?

若 y = 10x,則 log y = x.

但由於這過於人為了,數學公式多喜以更自然的事物出現,便是以 e 這一個更無規律的常數充當作底 (Base)。自然對數 (Natural Logarithm),簡記 ln(x)。

若 y = ex,則 ln y = x.

那麼 e 是多少呢?

又或以連分數 (Continued Fraction) 表示

那麼 e 是多少呢?

答案是 e = 2.718281828459045235360287471352662497757...... (OEIS A001113)

 

順帶一題 e 在複數也有應用,即歐拉公式 (Euler's Formula):

若取 x = p ,我們便得到一道很美的恆等式 (Identity):

式中把數學中五個很重要的常數  0, 1, i, e 及 p 連在一起,特別是把兩個無理數 (Irrational Number) ,即 e 和 p ,變成一個有理的結果。

 

自然對數底與素數

尋找素數的人也會在這常數中動腦筋。他們定義 e 數列 (e - Sequence):

2, 27, 271, 2718, 27182, 271828, 2718281, 27182818, 271828182, 2718281828, 27182818284, 271828182845, ......

當中若有素數,便是 e 素數 (e - Prime) 了。

 

首三個素數是 2, 271, 2718281,

接下來的已是 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571。

(OEIS A007512)

它們分別是有含有 1, 3, 7, 85, 1781, 2780 (OEIS A064118) 個數位之多。

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Constant Primes." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ConstantPrimes.html.

Weisstein, E. W. "e." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/e.html.

Weisstein, E. W. "e-Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/e-Prime.html.