圓周率與素數

 

在圓周率中找素數

圓周率 (p = 3.14159265.....) (OEIS A000796),圓周與直徑之比。這是一小數,和素數似乎拉不上什麼關係,但喜愛「登高望遠」的數學探險家 (喜愛為更長、更大和更精確而努力的人) 總會找到尋找挑戰的地方,他們除了為更精確的 p 而努力外,還可以從下面的方法去征遠。說起來,原來這個 p 是希臘字母,音 pi ,是故也有人以 pi 代表圓周率

我們把 pi 的小數點移除,再按小數位順序列寫,得一常數數列 (Constant Sequence):

3、31、314、3141、31415、314159、3141592、...... 這名叫 p 數列 ( p - Sequence)。

 

數學家發現當中不乏素數,便燃起尋找之心。開始是容易的,我們一看便知 3 和 31 是素數,下一個是 314159,這便是 p 素數 ( p - Prime 或 Pi - Prime)。但接下來研究工作漸見困難,真的寸步難行。到了1979年,有了電子計算機的協助,才發現第四個 p 素數,即 31415926535897932384626433832795028841 ,這是一個 38 位長的素數,由兩位美國數學家巴利爾 (Robert Baillie) 和旺特利希 (Marvin Wunderlich) 於 1979年在伊利諾大學 (University of Illinois) 發現並證明其素性 (Primality)。有趣的是把首三個素數倒過來的 3、13 和 951413 也是素數。第四個素數會否保留這「傳統」,尚是未知之數。

p 素數現在已知的有 3, 31, 314159, 31415926535897932384626433832795028841, ...... (OEIS A005042)。它們的數位有 1, 2, 6, 38, 16208, 47577, 78073, ...... (OEIS A060421)。

 

首先在 p 數列中各數的關係不易見,更不易數化,可能根本上是「無關係」。再者,數列中下一個數比不原本的多一個數位,超過 10 倍,數愈大愈難判斷。到底第五個素數何時出現呢?說不定是我們要耐心期待數百年了。

 

巧記圓周率

順便一提 p 這一無限非循環小數實不易記憶,原來早早有人給有一個效的記憶法 (Mnemonic) 。

How I wish I could calculate pi ?

你只要記得上面那道英文的問題,便可助你記得七個數位了,即 3.141592。什麼樣的原理呢?

 

再看一個例子吧!

May I have a large container of coffee ?

這是由美國數學家馬丁.加德納 (Martin Gardner 1914 - 2010) 所創,這便提供了八個數位的圓周率,即 3.1415926。

May I have a white telephone, or pastel color ?

這裡便可助你記得九個數位了,即 3.14159265,這是由安姆寧 (M. Amling) 於 2004 年所作的。

 

其實早些時間,英國理論天文學家秦思 (James Hopwood Jeans 1877-1946) 爵士想出一句更長的句子使我們記得 p 這一個數:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics,

(完成一課艱深的量子力學以後,喝些什麼,當然是酒吧。)

接著波特尼爾 (S. Bottomley) 於 2001 年時,加上這一段:

and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.

(如果課堂是沉悶和令人感倦的,一切古怪的想法都重回到四次方程上。)

這裡一段英文字句已包括了 32 個數位的 p (3.1415926535897932384626433832795)。

 

不過,若閣下真的可以熟記上述的一段文字,倒不如直接記廿下那 32 個數位好了。

到底這些句子和圓周率又有什麼關係呢?

為什麼波特尼爾的句子來到這兒便完,不可以再長一點嗎?

大家想一想吧!解謎和句子的中英文意思無關。

好了,相信大家都猜到了,那也不用我多作冗述了。

 

說以詩記數,不獨外國人專美,我國數學大師華羅庚 (Luogeng Hua, 1910-1985) 是以此詩記下圓周率的首 26 個數位:

「山顛一寺一壺酒,爾樂苦煞吾,把酒吃,酒殺爾,殺不死,樂爾樂。」

以這諧音詩記 p ,樂不樂哉。

 

參考文獻及網址

Gardner, M. "Memorizing Numbers." Ch. 11 in The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. New York: Simon and Schuster, p. 103, 1959.

Pi to one MILLION decimal places From http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index31415.html.

Weisstein, E. W. "Constant Primes." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ConstantPrimes.html.

Weisstein, E. W. "Pi-Primes." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Pi-Prime.html.

Weisstein, E. W. "Pi Wordplay." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PiWordplay.html.