平方根與素數

由根 2 談起

= 1.4142135623..... 這是二的平方根 (Square Root),這是一無理數 (Irrational Number),相信讀者對他也不會感陌生,我們在畢達哥拉斯定理 (Pythagoras Theorem 或畢氏定理) 或三角函數的特別角中也會看到這無理數的蹤影。不說不知,這數相傳最先由畢達哥拉斯學派 (Pythagorean School) 的信徒最先發現,所以有稱為畢達哥拉斯常數 (Pythagoras Constant)。

我們常以證明 是一無理數,來解釋如何運用「反證法」(Proof by Contradiction)。現在就讓我們看看那個證明吧。

 

假設 為一有理數,即 = p / q,其中 p、 q 均為互素 (Coprime) 之正整數。

那麼 2 = p2 / q 2, 即 p2= 2 q 2

由此 p2 必為 2 的倍數,乃至 p 必為 2 的倍數。故設 p = 2 r,其中 r 為正整數。

(2 r)2=2 q 2 ,即 2 r2 = q 2。 是故 q 亦為 2 的倍數,和 p、 q 均為互素之正整數矛盾,因而起始假設 為一有理數不成立,即其為無理數。

 

相傳畢達哥拉斯 (Pythagoras) 的門生希波索斯 (Hippasus) 便是因為發現 為一無理數的事實而被掉進地中海。無理數的出現直接動搖了畢達哥拉斯學派的基本教義,即所有數均可以公比度量的理念,這便是所謂的「第一次數學危機」(First Crisis of Mathematics)。

 

正因為 是一無理數,我們才有這不盡且無規律的小數,而可以在當中找尋素數。

我們建構一 數列 ( - Sequence):

1、14、141、1414、14142、141421、1414213、1414213、14142135、141421356、1414213562、......

當中找到的素數便是 素數 ( - Prime) 。 數值雖不大,但找到的素數可不少,第一個 素數竟是

1414213562373095048801688724209698078569671875376948073,

已有 55 數位之多•第二個素數更是

1414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641

有 97 數位之多。(OEIS A115453A115377)

 

 

根 3 的學問

= 1.732050807......

 

我們現在很輕易便可證明 是一無理數,只要把上面證明 的方法略加改動便可以。但以往古希臘人思想著重長度優於數字,他們可不會用這「現代」的方法去證明 是一無理數。誰人證明了 是一無理數?原來是古希臘先哲泰奧多雷斯 (Theodorus 前 465 - 前 398) ,他更證明了 5、6、7、...... 17 當中非平方數的平方根是無理數 ,但方法個個不同。我們現在很難想像這人如何會為不同的方法來證明那是根數是無理數,當然我們不得不佩服他的毅力,故是 又被稱為泰奧多雷斯常數 (Theodorus's Constant)。

 

我們建構一 數列 ( - Sequence):

1、 17、 173、 1732、 17320、 173205、 1732050、 17320508、 173205080、 1732050807、 ......

幸運的,這回首個 素數 ( - Prime) 不是很大。素數包括有:17, 173, 1732050807568877293, ...... (OEIS A119343 )。它們的數位是 2, 3, 19, 111, 116, 641, 5411, ...... (OEIS A119344 )。

 

參考文獻及網址

"Theodorus of Cyrene." From The MacTutor History of Mathematics Archive. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Theodorus.html.

Weisstein, E. W. "Constant Primes." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ConstantPrimes.html.

Weisstein, E. W. "Pythagoras's Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html.

Weisstein, E. W. "Theodorus's Constant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/TheodorussConstant.html.