三個臭皮匠

要使連續奇素數 (Consecutive Odd Primes) 的和成為素數 (Prime Number) 可不難,只要有奇數個奇素數加在一起便有機會。

如 5 + 7 + 11 = 23、109 + 113 + 127 + 131 + 137 = 617 等,這也不難找到的。

讓我們看看面的一個例子吧:

7 + 11 + 13 = 31

31 + 37 + 41 = 109

109 + 113 + 127 = 349

349 + 353 + 359 = 1061

1061 + 1063 + 1069 = 3193 (完結)

上述數式為三個連續奇素數的和,第一行的和是素數且作第二行的開始,如此類推,直至第五行的 3193 為合數 (Composite Number) 為止,其中 3193 = 13 * 103。我們稱上例為長度 4 的數列。

 

然而到底這樣的數式可有多長呢?

數學愛好者里弗華 (Carlos B. Rivera) 於 2010 年在其數學謎題的網站把問題刊出以後,很多數學工作者把答案投送。

 

數學家費迪.舒尼達 (Fred Schneider) 得到以下的一個關於各長度的最小素數的結論:

長度為 1 的為:17 + 19 + 23 = 59。

長度為 2 的為:11 + 13 + 17 = 41; 41 + 43 + 47 = 131。

長度為 3 的為:5 + 7 + 11 = 23; 23 + 29 + 31 = 83; 83 + 89 + 97 = 269。

長度為 4 的為:7 + 11 + 13 = 31; 31 + 37 + 41 = 109; 109 + 113 + 127 = 349; 349 + 353 + 359 = 1061。

 

長度為 5 的為:2543 + 2549 + 2551 = 7643; 7643 + 7649 + 7669 = 22961; 22961 + 22963 + 22973 = 68897; 68897 + 68899 + 68903 = 206699; 206699 + 206749 + 206779 = 620227。

長度為 6 的為:249217 + 249229 + 249233 = 747679; 747679 + 747713 + 747731 = 2243123; 2243123 + 2243161 + 2243177 = 6729461; 6729461 + 6729469 + 6729473 = 20188403; 20188403 + 20188451 + 20188459 = 60565313; 60565313 + 60565319 + 60565327 = 181695959。

長度為 7 的為:1783841 + 1783843 + 1783867 = 5351551;5351551 + 5351579 + 5351581 = 16054711;16054711 + 16054721 + 16054729 = 48164161; 48164161 + 48164191 + 48164201 = 144492553; 144492553 + 144492563 + 144492583 = 433477699; 433477699 + 433477721 + 433477729 = 1300433149; 1300433149 + 1300433153 + 1300433171 = 3901299473。

長度為 8 的為:2494517 + 2494523 + 2494537 = 7483577; 7483577 + 7483601 + 7483603 = 22450781; 22450781 + 22450817 + 22450849 = 67352447; 67352447 + 67352449 + 67352507 = 202057403; 202057403 + 202057417 + 202057423 = 606172243; 606172243 + 606172253 + 606172283 = 1818516779; 1818516779 + 1818516854 + 1818516853 = 5455550483; 5455550483 + 5455550501 + 5455550539 = 16366651523。這是由伊朗伊斯法罕大學 (University of Isfahan) 講師法奧沙巴赫 (Farideh Firoozbakht 1962- ) 最先找到的。

 

費迪.舒尼達更測試過所有小於三千萬的素數作驗證才得出上述的最小數列。

 

如果我們三個連續素數和改為五個或七個又會怎麼樣,不如大家想一想吧!

 

參考文獻及網址:

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 501 - Three Consecutive primes a prime." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_501.htm