一個三個五個七個

先讓我們看看這一例先吧:

31 = 31

31 + 37 + 41 = 109

109 + 113 + 127 + 131 + 137 = 617

617 + 619 + 631 + 641 + 643 + 647 + 653 = 4451

4451 + 4457 + 4463 + 4481 + 4483 + 4493 + 4507 + 4513 + 4519 = 40367

(完結)

 

上述數式的第一行只有一個素數 (Prime Number);第二行是連續的三個素數,開始的素數正是第一行的那個素數;第三行是連續的五個素數,開始的素數正是第二行的和;如此下去,第 n 行是由上一行的和開始的連續 2n - 1 個素數,直至總和為合數 (Composite Number)為止,如上式的 40367 = 37 * 1091 便是合數。這樣的一個例子,我們視作長度為 4。數學家也稱這樣的數陣為金字塔 (Pyramid)

然而到底這樣的數式可有多長呢?

 

數學愛好者里弗華 (Carlos B. Rivera) 於 2010 年在其數學謎題的網站把問題刊出以後,很多數學工作者把答案投送。

數學家費迪.舒尼達 (Fred Schneider) 得到以下的一個關於各長度的最小素數的結論:

 

長度為 1 的為:3 = 3,其實任何一個奇素數 (Odd Prime) 也可以,最小的一個自然是 3 了。

 

長度為 2 的為:5 = 5; 5 + 7 + 11 = 23。

 

長度為 3 的為:7 = 7; 7 + 11 + 13 = 31; 31 + 37 + 41 + 43 + 47 = 109。

 

長度為 4 的為:31 = 31; 31 + 37 + 41 = 109; 109 + 113 + 127 + 131 + 137 = 617; 617 + 619 + 631 + 641 + 643 + 647 + 653 = 4451。

 

長度為 5 的為:431 = 431; 431 + 433 + 439 = 1303; 1303 + 1307 + 1319 + 1321 + 1327 = 6577; 6577 + 6581 + 6599 + 6607 + 6619 + 6637 + 6653 = 46273; 46273 + 46279 + 46301 + 46307 + 46309 + 46327 + 46337 + 46349 + 46351 = 416833。

 

長度為 6 的為:463 = 463; 463 + 467 + 479 = 1409; 1409 + 1423 + 1427 + 1429 + 1433 = 7121; 7121 + 7127 + 7129 + 7151 + 7159 + 7177 + 7187 = 50051; 50051 + 50053 + 50069 + 50077 + 50087 + 50101 + 50111 + 50119 = 450761; 450761 + 450767 + 450787 + 450797 + 450799 + 450803 + 450809 + 450811 + 450817 + 450829 + 450839 = 4958819。

 

長度為 7 的為:5715817 = 5715817; 5715817 + 5715823 + 5715839 = 17147479; 17147479 + 17147483 + 17147491 + 17147513 + 17147531 = 85737497; 85737497 + 85737503 + 85737521 + 85737539 + 85737577 + 85737593 + 85737611 = 600162841; 600162841 + 600162869 + 600162937 + 600162949 + 600162967 + 600162991 + 600163027 + 600163049 + 600163063 = 5401466687; 5401466687 + 5401466701 + 5401466711 + 5401466713 + 5401466767 + 5401466803 + 5401466827 + 5401466879 + 5401466951 + 5401466953 + 5401466957 = 59416134949; 59416134949 + 59416134977 + 59416135007 + 59416135021 + 59416135099 + 59416135111 + 59416135117 + 59416135153 + 59416135217 + 59416135231 + 59416135249 + 59416135357 + 59416135391 = 772409756879

 

長度為 8 的為:36943 = 36943; 36943 + 36947 + 36973 = 110863; 110863 + 110879 + 110881 + 110899 + 110909 = 554431; 554431 + 554447 + 554453 + 554467 + 554503 + 554527 + 554531 = 3881359; 3881359 + 3881363 + 3881387 + 3881393 + 3881407 + 3881413 + 3881419 + 3881431 + 3881441 = 34932613; 34932613 + 34932673 + 34932683 + 34932701 + 34932719 + 34932757 + 34932761 + 34932823 + 34932829 + 34932839 + 34932851 = 384260249; 384260249 + 384260273 + 384260309 + 384260321 + 384260347 + 384260363 + 384260399 + 384260413 + 384260419 + 384260431 + 384260447 + 384260473 + 384260479 = 4995384923; 4995384923 + 4995384929 + 4995384931 + 4995384997 + 4995385007 + 4995385013 + 4995385027 + 4995385033 + 4995385061 + 4995385063 + 4995385103 + 4995385139 + 4995385181 + 4995385211 + 4995385223 = 74930775841。這是由伊朗伊斯法罕大學 (University of Isfahan) 講師法奧沙巴赫 (Farideh Firoozbakht 1962- ) 最先找到的。

 

費迪.舒尼達更測試過所有小於三千萬的素數作驗證才得出上述的最小數列。

而贊斯.安德遜 (Jens Kruse Anderson) 更找到一串以 37330116097 開首,長十行的數列。該十行的總和分別為 37330116097、 111990348347、 559951741967、 3919662194621、 35276959752709、 388046557281451、 5044605244660991、 75669078669917287、 1286374337388597683 和 24441112410383362873;而第十一行,即長達 21 個素數的和 513263360618050629815 才終結了這個巨大的金字塔。

 

參考文獻及網址:

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 502 - Adding consecutive 2n+1 primes a prime." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_502.htm