費馬的 4n+1 和歐拉的 6n+1

法國數學家費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665)

瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783)

(照片均取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

費馬的 4n+1

又有一東西把兩大數學巨頭的名字連在一起:這裡指法國數學家費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665) 和 瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783)。那便是費馬 4n+1 定理 (Fermat's 4n+1 Theorem) 和 歐拉 6n+1 定理 (Euler's 6n+1 Theorem) 了。

這裡介紹費馬 4n+1 定理:「若一素數 p 可寫成 x2 + y2,其中 x 和 y 均為正整數當且僅當 p 為型如 4n+1 的素數 或 p 為 2。」這一定理我們又稱為費馬二平方定理 (Fermat's Two-square Theorem) 或簡稱費馬定理 (Fermat's Theorem)。但費馬此人貢獻良多,稱費馬定理恐引誤會,故本人喜歡多寫數字,以費馬 4n+1 定理稱呼。

首先看看最古怪的素數 (Oddest Prime) ,即 2,2 = 12 + 12

 

接下來的可見:

p
(x,y)
p
(x,y)
p
(x,y)
p
(x,y)
p
(x,y)
5
(1,2)
13
(2,3)
17
(1,4)
29
(2,5)
37
(1,6)
41
(4,5)
53
(2,7)
61
(5,6)
73
(3,8)
89
(5,8)
97
(4,9)
101
(1,10)
109
(3,10)
113
(7,8)
137
(4,11)
149
(7,10)
157
(6,11)
173
(4,13)
181
(9,10)
193
(7,12)

尋找 (x,y) 的方法也不難,只要把那型如 4n+1 的素數寫成 4m+k2,再令 2xy=m 及 (y-x)=k 便得 (x,y) 組合。

 

歐拉的 6n+1

這裡再介紹歐拉 6n+1 定理:「任何型如 6n+1 的素數皆可寫成 x2 + 3y2,其中 x 和 y 均為正整數,其實任 3n+1 的數也可如此作。」

p
(x,y)
p
(x,y)
p
(x,y)
p
(x,y)
p
(x,y)
7
(2,1)
13
(1,2)
19
(4,1)
31
(4,3)
37
(5,2)
43
(4,3)
61
(7,2)
67
(8,1)

73

(5,4)
79
(2,5)
97
(7,4)
103
(10,1)
109
(1,6)
127
(10,3)
139
(8,5)
151
(2,7)
157
(7,6)
163
(4,7)
181
(10,9)
193
(1,8)

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Euler's 6n+1 Theorem." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Eulers6nPlus1Theorem.html.

Weisstein, E. W. "Fermat's 4n+1 Theorem." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Fermats4nPlus1Theorem.html.