階乘加起來 - 階乘和素數
我們考慮把自 1 起至 n 的階乘 (Factorial) (若不了解什麼是階乘，請到這邊來) 加起來，定義 S1(n) 為：
S1(n) = 1! + 2! + 3! + ... + n!
我們有 S1(1) = 1， S1(2) = 3， S1(3) = 9，... (OEIS A007489)，這我們稱為階乘和函數 (Sum-of-factorials Function)。
進一步定義 S2(n) = 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n+1)! - 1
我們有 S2(1) = 1， S2(2) = 5， S2(3) = 23，... (OEIS A033312)
再進一步定義 S3(n) = (1!)2 + (2!)2 + (3!)2 + ... + (n!)2
從而得數列：1, 5, 41, 617, 15017, 533417, 25935017, 1651637417, 133333531817, 13301522971817, 1606652445211817, 231049185247771817, 39006837228880411817, 7639061293780877851817, ...... (OEIS A104344)，這些數便是階乘和 (Factorial Sum)。
若為素數 者，便是階乘和素數 (Factorial Sum Prime)，如 5, 41, 617, 15017, 25935017 等。第一個階乘和的合數 (Factorial Sum Composite) 為 533417 = 31*17207。數學家相信階乘和素數是有限的，但未知哪個是最後一個而已。
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Factorial Sums." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html.
