階乘加起來 - 階乘和素數

我們考慮把自 1 起至 n 的階乘 (Factorial) (若不了解什麼是階乘,請到這邊來) 加起來,定義 S1(n) 為:

S1(n) = 1! + 2! + 3! + ... + n!

我們有 S1(1) = 1, S1(2) = 3, S1(3) = 9,... (OEIS A007489),這我們稱為階乘和函數 (Sum-of-factorials Function)。

 

進一步定義 S2(n) = 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n+1)! - 1

我們有 S2(1) = 1, S2(2) = 5, S2(3) = 23,... (OEIS A033312)

 

再進一步定義 S3(n) = (1!)2 + (2!)2 + (3!)2 + ... + (n!)2

從而得數列:1, 5, 41, 617, 15017, 533417, 25935017, 1651637417, 133333531817, 13301522971817, 1606652445211817, 231049185247771817, 39006837228880411817, 7639061293780877851817, ...... (OEIS A104344),這些數便是階乘和 (Factorial Sum)。

 

若為素數 者,便是階乘和素數 (Factorial Sum Prime),如 5, 41, 617, 15017, 25935017 等。第一個階乘和的合數 (Factorial Sum Composite) 為 533417 = 31*17207。數學家相信階乘和素數是有限的,但未知哪個是最後一個而已。

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Factorial Sums." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/FactorialSums.html.