不是素數的殆素數

殆素數

殆素數 (Almost Prime) 是指一合數 (Composite Number) 或素數 (Prime Number) 的素因子 (Prime Factor) (相同或不同) 的個數等於一指定數值：

如二次殆素數 (2-almost Prime) 是指素因子數目為 2 的整數，如 4 = 2*2、15 = 3*5、111 = 3*37、2323 = 23*101 等都是。

又如三次殆素數 (2-almost Prime) 是指素因子數目為 3 的整數，如 8 = 2*2*2、30 = 2*3*5、105 = 3*5*7、333 = 3*3*37 等都是。

留意，一次殆素數 (1-almost Prime) 即我們經常說的素數。

　

殆素數的出現始見於研究哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 的問題上。哥德巴赫猜想是指一不少於 6 的偶數 (Even Number) 可寫成兩素數的和。我國數學家 (Mathematician) 在這問題上走在最前，其中陳景潤 (Jingrun Chen 1933-1996) 院士更提出及證明：「一大合數可寫成一素數及一不多於兩素因子的殆素數的和。」這亦是我們經常言提的「1+2」，後人為記念陳景潤的貢獻，稱該結果為「陳氏定理 (Chen's Theorem)」。

一次殆素數 (1-almost Prime)	如 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、......	OEISA000040	簡記 P
二次殆素數 (2-almost Prime)	如 4、6、9、10、14、15、21、22、25、26、33、34、......	OEISA001358	簡記 P2
三次殆素數 (3-almost Prime)	如 8、12、18、20、27、28、30、42、44、45、50、......	OEISA014612	簡記 P3
四次殆素數 (4-almost Prime)	如 16、24、36、40、54、56、60、81、84、88、90、......	OEISA014613	簡記 P4
五次殆素數 (5-almost Prime)	如 32、48、72、80、108、112、120、162、168、180、......	OEISA014614	簡記 P5

　

當然的，所謂一次殆素數其實便是我們常見的素數。而二次殆素數，這名次頗陌生，我們又會稱其為半素數 (Semiprime) 或二素數 (Biprime)， 更是我們經常聽見的長方形數 (Rectangle Number) 。我們很容易可知只要在 k 次殆素數中乘多一個素數，便是 k+1 次殆素數。正因如此，我們可把「埃拉托斯特尼篩法 (Sieve of Eratosthenes)」改為尋找殆素數工具，方法是在保留 2、3、5這些素數，但「不」把其倍數刪掉，改刪掉 4、6、10這些二次殆素數的倍數，便會剩下二次殆素數了。如此類推。

　

三次殆素數，也可稱作三素數 (Triprime) 或楔形數 (Sphenic Number)，如此類推。其實二素數或三素數的稱呼也不過是方便我們而已。

　

半素數

其實會否出現連續的半素數 (Consecutive Semiprimes) 呢？答案是會的，如 14 = 2 * 7 及 15 = 3 * 5 或 33 = 3 * 11、 34 = 2 * 17 及 35 = 5 * 7 等。俗語有云：「富不過三代。」這數列 (Sequence) 也長不過三數，為何呢？因為每四個數之間總有一個是 4 的倍數，而 4 本身已佔據了兩個因子，其倍數也不會是半素數了。最小的一組便是 33, 34, 35，接下來還有 85, 86, 87、93, 94, 95、 141, 142, 143 等 (OEISA0039833)。順便一言，那三個成連續的半素數便是以奇 - 偶 - 奇的次序出現，而兩個奇數中必然有一個是三的倍數，信不信由你。

　

下列一道公式可給出不少於 x 的半素數個數：

式中的 p(x) 為素數個數函數 (Prime Counting Function)，即不多於 x 的素數個數，而 p_k 為第 k 個素數。

上式由 E．諾爾 (E. Noel) 和賓路斯 (G. Panos) 於 2005 年一月發表的。

　

現在一些加密算法 (Encryption Algorithm) 如 「RSA公鑰密碼」(RSA Encryption Public-key Cryptograpy) ，對大的半素數需求很大，下表列舉一些較特別的非平方半素數：

p * q	數位	p 的數位	q 的數位
1048 + 19	49	21	28
1050 + 27	51	22	29
1053 + 63	54	25	29
1054 - 3	54	23	32
1055 - 9	55	25	31
1063 + 19	64	32	32

　

與半素數相關的一道難題

　

這半素數稱為傑文斯數 (Jevons Number) ：

8616460799 = 89681 * 96079

原來這數是由英國經濟學家傑文斯 (William Stanley Jevons 1835-1882) 提出的一說問題而來，因而為名。傑文斯更是出題考驗有沒有人可把這數分解，在 1903 年，美國數學家D．N．雷默 (Derrick Norman Lehmer 1867-1938) 成功找出分解式。

　

參考文獻及網址：

Weisstein, E. M. "Almost Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AlmostPrime.html.

Weisstein, E. M. "Jevons Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/JevonsNumber.html.

Weisstein, E. M. "Semiprime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Semiprime.html.