把兩個素數加起來

我們看看這一素數集 (Set of Primes)：{2, 3, 5, 13, 17, 41, 61, 67, 83, 101}。

此素數集符合下列要求：

1. 當中每元素均是不同的素數 (Prime Number)。

2. 當中任何兩個元素 (包括相同或不同的素數) 的和，我們稱為「兩兩和 (Pairwise Sum)」都是不同的。

　

詳可參閱下表：

	2	3	5	13	17	41	61	67	83	101
2	4	5	7	15	19	43	63	69	85	103
3		6	8	16	20	44	64	70	86	104
5			10	18	22	46	66	72	88	106
13				26	30	54	74	80	96	114
17					34	58	78	84	100	178
41						82	102	108	124	142
61							122	128	146	162
67								134	150	168
83									166	184
101										202

我們姑且稱這個集合為異兩兩和素數集 (Set of Distinct Pairwise-sum Primes)。到底對於每一不同的素數個數 k，這素數集中最大素數 p_k 最小可以是多少呢？而這些素數集又是什麼模樣呢？(原來我討來這個例子中的 101 不是 p₁₀ 中最小的結果，89 才是真命天子。)

當 k = 2 時，我們不難發現 {2, 3} 便是當中的異兩兩和素數集，這素數 3 也自然成為當中的最小值，我們當然理解沒有一個可能結果比 3 還要小。當 k = 3 時，我們也找到 {2, 3, 5}。但當 k 越來越大時，我們再不易碰到答案，當然計算兩兩和的矩陣 (Pairwise-sum Matrix) 也要更大。

其實這類尋找最大中的最小或最小中的最大的問題，在數學界甚為常見，如在運籌學 (Operation Research) 中找尋最優解 (Optimal Solution)，中學時學到的線性規劃 (Linear Programming) 也屬此類。

　

數學愛好者費迪．舒尼達 (Fred Schneider)利用程式之助，對此問題有所發現，詳列如下：

k	Primes
2	2	3
3	2	3	5
4	2	3	5	11
	2	3	7	11
5	2	3	5	13	17
	2	3	11	13	17
	2	5	7	11	17
	2	5	7	13	17
	2	5	11	13	17
6	2	3	5	11	19	23
	2	3	5	13	17	23
	2	3	5	13	19	23
	2	3	11	13	17	23
	2	3	11	13	19	23
	2	3	11	17	19	23
7	2	3	5	13	17	31	37
	2	3	7	17	19	31	37
	2	3	7	17	29	31	37
	2	3	7	19	29	31	37
	2	3	11	13	19	23	37
	2	3	13	17	29	31	37
	2	5	7	11	17	29	37
8	2	3	11	13	23	29	43	47
9	2	5	7	11	17	29	37	53	67
	2	5	7	17	19	31	37	59	67
10	2	3	5	13	23	37	41	67	83	89
	2	3	5	17	37	53	61	79	83	89
	2	3	5	19	23	31	43	53	83	89
	2	3	11	13	23	43	47	61	83	89
11	2	3	13	29	37	59	71	89	103	107	109
12	2	3	11	13	23	37	67	71	103	109	131	149
13	2	3	5	11	19	29	67	71	107	157	179	191	211
14	2	3	5	11	19	29	47	89	127	167	179	199	229	233
15	2	3	5	11	19	23	41	73	83	127	167	193	241	269	293
16	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	293	409	463
17	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	293	359	479	547
18	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	359	479	547	571	613
19	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	293	401	487	607	631	677
	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	293	409	463	607	653	677
20	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	409	463	607	617	659	683	751
21	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	409	463	503	571	617	769	821
	887
	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	293	373	499	569	593	757	811	877
	887
22	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	353	461	547	587	661	823	911
	953	977
	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	359	461	503	577	647	773	853
	967	977
23	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	353	479	547	571	701	853	863
	971	1087	1129
24	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	353	461	547	673	683	797	863
	1063	1087	1181	1249
25	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	409	463	607	677	797	877	991
	1049	1213	1301	1367	1409
26	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	337	463	557	677	757	929	1051
	1249	1259	1301	1453	1493	1559
27	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	293	409	479	613	659	733	857
	1009	1217	1361	1531	1597	1733	1787
	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	337	461	563	587	751	887	1009
	1181	1381	1543	1583	1657	1777	1787
28	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	293	409	479	631	733	853	983
	1163	1249	1367	1447	1571	1759	1867	1973
	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	337	463	571	659	829	853	1019
	1153	1223	1429	1559	1759	1811	1931	1973
	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	337	463	587	739	853	941	1061
	1231	1367	1489	1531	1597	1831	1931	1973
29	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	337	463	571	677	829	953	1087
	1259	1283	1447	1489	1667	1783	2039	2131	2141
30	2	3	5	11	19	23	41	67	101	151	179	251	283	337	463	593	659	811	983	1063
	1171	1289	1487	1609	1823	1987	2029	2153	2221	2273

　

當然在更大的 k 我們也會找到相關的素數組。但若我們把兩兩和改為三三和或四四和又如何呢？大家不如也動動腦筋好了。

　

參考文獻及網址：

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 356 - A Minimal Set of K Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_356.htm.