分拆函數小 p

分拆函數 (Partition Function) p(x) 是指一正整數的不同的分拆數 (Number of Partitions),例 p(7) = 15,因為

7 = 7

7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4

7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3

7 = 1 + 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 2 + 2

7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2

7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2

7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

留意數算分拆數時,包括自身,是故 p(1) = 1。

分拆數為 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, ... (OEIS A000041)

 

但如何產生分拆數呢?原來要靠 q 級數 (q - series) ,這方法是由瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 提供的。

所謂 q 級數:

= = =
 

再加上,

=

=

 

當中不乏素數 (Prime Number),我們稱為分拆素數 (Partition Prime),如 2, 3, 5, 7, 11, 101, 17977, 10619863, ... (OEIS A049575)

 

數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 和艾域 (Aleksandar Ivic) 於 1989 年提出一度與小 p 相關的猜想,即愛爾特希- 艾域猜想 (Erdos - Ivic Conjecture)。猜想謂存有無限多個素數使其可整除其分拆函數的值。言外話,而艾域亦對黎曼 z 函數 (Riemann z  Function) 有著深入的研究。欲想多對此函數認識,可參閱另文《希爾伯特的夢 - 黎曼猜想》。

 

參考文獻及網址

Weisstein, E. W. "Partition Function p." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html.