這個不是證明

「3n+1」猜想 (3n + 1 Conjecture) 稱得為猜想,即至今尚是未解之謎。當然仍有很多人嘗試用不同的方法去證明,但相信也不會是易事。電子計算機普及以後,不少挑戰「定理」真實性的人試圖以電子計算機找尋反例 (Counterexample),在可觀的整數以內是找不到反例的。但這不是無聊之舉,這倒使我們對問題得證的信心更大,或許可從整數變 1 的路徑中找到一些法門。

亦有人以概率方法找尋得證法門:

我們知道一數的奇偶性 (Parity) 除了受變換改變以外,亦和變換前的奇偶性相關。某一些數的倍數經過變換以後的奇偶性是可以預計的。是故我們分析某些倍數類別的路徑直至下一個待決奇偶的數字為止,看看有否發現。

若一數為 4 的倍數,該數 n 經過一次或以上的變換以後必變成 n/4;若一數為 4 的倍數加一;該數經過一次變換以後必變成 (3n + 1) ,而這 (3n + 1) 必是 4 的倍數,是故該數必成 (3n + 1) / 4;若 一數為 4 的倍數加二;則該數經過一次變換以後必變成 n / 2,但這時的必是奇數,是故下一步則是 (3n + 2) / 2,而這是偶數,又可成為 (3n + 2) / 4;最後,若該數為 4 的倍數加三,則該數必成 (3n + 1) / 2。

若我們任取一數,它是上述四類的機會各為 1/4 ,所以下一個數的期望值為

1/4 * [(n/4) + (3n+1)/4 + (3n+2)/4 + (3n+2)/2 ]

= 1/4 * (12n + 7)/4

= (12n + 7) / 16

若取 (12n + 7) / 16 < n,我們便知當 n > 7/4 時,n 的期望值會比 n 少,是故我們期望數值經過或不只一次變換以後會減少。但這不可作為本猜想的證明,因為我們知道不同數字出現是有相連關係,不是概率方法中的獨立事件 (Independent Event),而使一數字出現以後,接下來的下一個數字是否屬於上述某一類的機會亦未必均等。是故以上述方法去證明「3n+1」猜想,似乎把問題看得太簡單了,但這不失為一增加我們信心的方法,使我們堅信「3n+1」猜想終會得證。