我們不應為沒有證明而停下來

「3n+1」猜想 (3n + 1 Conjecture) 尚是未證之謎,但這應否窒礙我們對這問題的「應用」呢?長久而來,論證派的數學工作者認為數學的成就在於其為永恆的真理,因為數學中每一樣的東西都是經過嚴謹的演繹而成的,是永恆的真理。然而當我們看到一些如「3n+1」猜想,我們堅信真實但又一時找到證明的數學問題時,我們又應否為著一個證明而故步自封呢?

那我們便要看看一些數學家因為此問題而引發的一些聯想或推廣:

 

推廣一:

我們把 3n+1 改為 3n + 3k,k 為任意正整數。則任何正整數皆會以 3k 為終點。

這或許和我們看 F(x) = f(x) + t (t > 0) 的圖像上移情況相若。

 

推廣二:

若 n 為可被 2 或 3 整除 ,則把 n 除以 2 或 3, 即 n => n/2 或 n/3;
若 n 不可被 2 及 3 整除 ,則把 n 乘 5再加 1, 即 n => 5n + 1。

任何於一的正整數 n ,必定在有限次變換之內,變成 1。

 

例取 n = 2005:

2005 => 10026 => 5013 => 1671 => 557 => 2786 => 1393 => 6966 => 3483 => 1161 =>

387 => 129 => 43 => 216 => 108 => 54 => 27 => 9 => 3 => 1 (合共 20 步)。

 

我們何進一步把推廣二推廣至其它素數的倍數 (Multiple) 中,即

若 n 為可被首 k 個素數中其中一個素數 p 整除 ,則把 n 除以 該素數, 即 n => n/p;
若 n 不可被首 k 個素數中其中任一個素數整除 ,則把 n 乘 第 k+1 個素數 pk+1 再加 1, 即 n => pk+1 * n + 1。

任何於一的正整數 n ,在有限次變換之內,會否變成 1,或會有別的結果呢?

現在,這問題被稱為 5n+1 猜想 (5n+1 Conjecture) 或 7n+1 猜想 (7n+1 Conjecture) ,以至 pn+1 猜想 (pn+1 Conjecture)。

 

例取 n = 2005 及 首 4個素數 2、3、5、7,n 若非當中任一素數的倍數,則會變成 11n+1:

2005 => 401 => 4412 => 2206 => 1103 => 12134 => 6067 => 66738 => 33369 => 11123 =>

1589 => 227 => 2498 => 1249 => 13740 => 6870 => 3435 => 1145 => 229 => 2520 =>

1260 => 630 => 315 => 105 => 35 => 7 => 1 (合 27步)。

這裡得作個補充,在 11n+1 猜想中,不是每一個數都會變成 1 的,如

47 => 518 => 37 => 408 => 17 => 188 => 47

我們不難發現當中出現了一個數圈,有人稱之為循環 (Cycle),更有數學家叫它作「黑洞」,喻意所有數走了進去也走不出來。我們只知當 p 越大,出現的「黑洞」會更多和更長。但這呈什麼規律呢?則尚待開發中。對於這些循環,我們會以當中最小值作為其代表,而剔除了所有 2、3 、5 、7 的倍數留下來的,即 17 => 47 => 37 ,便是該循環的長度,故這是一個長度為 3 的循環。

 

推廣三:

把推廣一和二合併,即

若 n 為可被首 k 個素數中其中一個素數 p 整除 ,則把 n 除以 該素數, 即 n => n/p;

若 n 不可被首 k 個素數中其中任一個素數整除 ,則把 n 乘 第 k+1 個素數 pk+1 再加 pk+1 m

即 n => pk+1 * n + pk+1 m

結果是任何於一的正整數 n ,必定在有限次變換之內,變成 pk+1 m 或相應之「黑洞」中各數的 pk+1 m 倍。

然而這些推廣和原猜想一樣,現在仍只是猜想,未有任何數學的證明。但數學家的思想和創意是否該因為未有一嚴謹的數學論證而窒礙,這確然是值得作數學的人反思。

 

參考文獻及網址

Tomas Oliveira e Silva "Computational verification of the 5x+1 and 7x+1 conjectures. " http://www.ieeta.pt/~tos/px+1.html.

張承宇 , "角谷猜想的進一步推廣" 載於 楊世明:中國初等數學研究文集 , 河南教育出版社 , 1992 , pp 111-114