負數 3n + 1 問題

「3n+1」猜想 (3n + 1 Conjecture) 的取值範圍限於正整數,若把問題取值定為負數,便是負數 3n + 1 猜想 (Negative 3n + 1 Conjecture) 了。

若 n 為偶數 (即 n 可被 2 整除) ,則把 n 除以 2, 即 n => n/2;
若 n 為奇數 (即 n 不可被 2 整除) ,則把 n 乘 3 再加 1,再除以 2。 即 n => (3n + 1) / 2。

結論除了是負數終歸負數以外,還會如何呢?

 

例取 n = - 2005:

- 2005 => -3007 => -4510 => -2255 => -3382 => -1691 => -2536 => -1268 => -634 => -317 =>

-475 => -356 => -178 => -89 => -133 => -199 => -298 => -149 => -223 => -334 =>

-167 => -250 => -125 => -187 => -280 => -140 => -70 => -35 => -52 => -26 =>

-13 => -19 => -28 => -14 => -7 => -10 => -5 ( 至 -5 合 37 步)

當到 -5 以後,便是 -5 => -7 => -10 => -5 ,這是一個循環 (Cycle),或有人稱之為「黑洞」,而當中最小的數為 -5。

當然原本的 「3n+1」猜想 中的 1 => 2 => 1 也可視為一個循環。但負數的世界中,可不只一個循環,還有:

-1 => -2 => -1

和更長的

-17 => -25 => -37 => -55 => -82 => -41 => -61 => -91 => -136 => -68 => -34 => -17 這個循環。

正數的世界,路是一條,最終循環也得一個;但負數的卻不同了,循環是成雙成對的。但我們從可觀的測試可知,沒有別的循環了。但原因若何,和「3n+1」猜想也是一個未證之謎。

若想知道別的數字的路是如何走,可以自己計或到這裡來。

 

參考文獻及網址

Matthews, Keith "The Collatz Conjecture" from Some BCMath/PHP Number Theory Programs. http://www.numbertheory.org/php/collatz.html .

Tomas Oliveira e Silva "Computational verification of the 3x+1 conjecture. " http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html.