過程中的數列也有價值

引子

當我們把一個數字不斷的作疊代時，便會產生一道數列，亦有數學家對數列當中的數字變化有興趣。

我們先以 「3n + 1猜想」中的 2005 作例：

2005 => 3008 => 1504 => 752 => 376 => 188 => 94 => 47 => 71 => 107 =>

161 => 242 => 121 => 182 => 91 => 137 => 206 => 103 => 155 => 233 =>

350 => 175 => 263 => 395 => 593 => 890 => 445 => 668 => 334 => 167 =>

251 => 377 => 566 => 283 => 425 => 638 => 319 => 479 => 719 => 1079 =>

1619 => 2429 => 3644 => 1822 => 911 => 1367 => 2051 => 3077 => 4616 => 2308 =>

1154 => 577 => 866 => 433 =>650 => 325 => 488 => 244 => 122 => 61 =>

92 => 46 => 23 => 35 => 53 => 80 => 40 => 20 => 10 => 5 =>

8 => 4 => 2 => 1

　

奇數遞增數列

我們知道當中的數字有增加亦有減少，但若該數字是偶數的話，下一個是必然比原來的少，而奇數的下一個數則一定比原來的大了。然而一個奇數和下一個出現的奇數的大小則無必然的關係了。於是有數學家把數列中的偶數剔除：

2005 => 47 => 71 => 107 => 161 => 121 => 91 => 137 => 103 => 155 =>

233 => 175 => 263 => 395 => 593 => 445 => 167 => 251 => 377 => 283 =>

425 => 319 => 479 => 719 => 1079 => 1619 => 2429 => 911 => 1367 => 2051 =>

3077 => 577 => 433 => 325 => 61 => 23 => 35 => 53 => 5 => 1

當中我們不難找到一些遞增的奇數數列，如 319 => 479 => 719 => 1079 => 1619 => 2429 及 175 => 263 => 395 => 593 等，到底這種數列可有多長呢？是不是任何長度的奇數遞增數列？

答案可以肯定的，看看下面的計算便知曉：

設整數 n = a * 2^k - 1，其中 a 為奇數， k > 1，則 n 亦為奇數。

故變換後的新值為

(3n + 1) / 2

= [3 *( a * 2^k - 1) + 1] / 2

= [3a * 2^k - 3 + 1] / 2

= [3a * 2^k - 2] / 2

= 3a * 2^{k - 1} - 1

上數為奇數當 k - 1 > 0 ，若此又可作多一次變換。故此，若某數含有 2 的 5次方作因子，則其可以產生 4 次變換，連同自己則有5 個遞增的奇數了。由於 k 可任意取值，故存在任意長的奇數遞增數列。

　

反推過程

本人試圖把所有奇數數列列寫出來，也有些發現。

1 <= 5 <= 3

1 <= 5 <= 13 <= 17 <= 11 <= 7 <= 9

1 <= 5 <= 13 <= 17 <= 11 <= 7 <= 37 <= 49 <= 65 <= 43 <= 57

1<= 21

1<= 85 <= 113 <= 75

這兒只列寫其中一部份。方法是自 1 作反向推演，即 5 或 21 經過變換以後的下一個奇數是 1 ，9 變換以後是 7 。

首先我們看到所有 3 的倍數沒法向後再推，也即是說不會有一個數經過變換後會變成一個 3 的倍數的奇數。

原因很簡單，若該奇數為 3 的倍數，即其倍數也是 3 的倍數，自不會是 3N + 1 了。

若某數為 n = 3k + 1 ，則其後推的數為 (4n - 1) / 3；若某數為 n = 3k + 2，則其後推的數為 (2n - 1) / 3。

某數 n 經過變換後成為 k，則 4n + 1 也有同樣的結果。如 5, 21, 85 也會變成 1 ，其實 4 * 85 + 1 = 341 也是一樣的。

這些結論對證明猜想未必有多大的作用，僅屬自娛。但我相信在 5n + 1 或 7n + 1 的世界裡可不是這麼簡單，反推或數字之間的間係也會更複雜。