連續素數算術數列

亦有數學家不滿足於單純尋找一算術數列 (Arithmetic Sequence 或 Arithmetic Progression) 中連續出現的素數,他們尋找更稀有的連續素數算術數列 (Consecutive Prime Arithmetic Progression, CPAP),即由連續素數 (Consecutive Primes) 組成的算術數列,如:

251、257、263、269 和 1741、1747、1753、1759

由 M. F. 瓊斯 (M. F. Jones) 、 利耳 (M. Lal) 和 貝蘭頓 (W. J. Blundon) 於 1967年找到了由五個連續素數組成的算術數列 1010 + 24493 + 30k 其中 k = 0、1、2、3 和 4。

 

不久,蘭達 (L. J. Lander) 和 柏堅 (T. R. Parkin) 找到了由六個連續素數組成的算術數列 121174811 + 30k 其中 k 是介乎 0 和 5 之間的整數 。他們還證明了 9843019 + 30k 其中 k = 0、1、2、3 和 4 ,是由五個連續素數組成最小的算術數列。他們在 3*108 內還發現了另外 25 組這樣的數列,但卻沒有其他長度為 6 的數列。

另外納爾遜 (Hardy L. Nelson) 為了製造 3*3 的連續素幻方 (Consecutive Prime Magic Square) 而發現了長度為 9 的連續素數算術數列,這是 1480028171 和 這數 ±12、±18、±30 和 ±42。他還一次過找到另外 20 個這樣的連續素數算術數列。(詳見《連續素幻方》)

在 2004年,英國數學家格連 (Ben J. Green 1977- ) 和澳洲華裔數學家陶哲軒 (Terence Chi-Shen Tao 1975- ) 證明了存在任意長的素算術數列 (Prime Arithmetric Progression) ,他們利用一些重要結果如「施米列迪定理 (Szemeredi's Theorem)」等協助作出證明。所謂施米列迪定理是指「每一正密度整數數列均存在任意長算術數列。」最後他們利用一個聰明的「轉移方法」和 48頁的計算,把這定理證明。

 

若我們從項數著眼,長 10 項的連續素數組成的算術數列可謂一時無兩,其首項為

p = 100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689 19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719

而公差則是 210。這組長達 93 數位的素數是由 托比歷 (Manfred Toplic) 於 1998 年找到的。

而他本人亦在同年較早時間找到另一組長達 9 項的連續素數組成的算術數列:

p = 99 67943 20667 01086 48449 06536 95853 56163 89823 64080 99161 83957 74048 58552 90714 75461 11479 96776 94651

這數列的公差同是 210,而亦達 92 數位之大。

 

直至 2009年止,最大的長三項的連續素數算術數列為 197418203 * 225000 - 1, 與其前後兩個相差 6090的素數組成。這 7535 位的素數組是由布特靴斯 (David Boardhurst) 和 莫蘭 (Francois Morain) 在 2009 年找到的。

 

參考文獻及網址:

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=13.

Ribenboim, P. The Little Book of Bigger Prime , New York: Springer-Verlag, 1991

Weisstein, E. W. "Arbitrarily Long Progressions of Primes." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/news/2004-04-12/primeprogressions/ .

Wells, D. "Arithmetic Progressions, of Primes." From The Most Mysterious Figures in Math - Prime Numbers" , New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. pp 13-14, 2005