素數,你找到多少?

素數陣

素數陣 (Prime Array) 是什麼?若大家玩過文字遊戲 Crosswords 的話,該不會對此陌生。

Crosswords 中每一格是填上一英文字母(當然中文字亦何),然後玩者在方陣中找出最多在直、橫或斜行中連續出現的英文單字(或中文詞語),便告勝利。

當然我們可以選擇一些同一主題的字、詞鑲進 Crosswords 中,便成一特定主題的文字遊戲了。

 

試想一想,若方格內的不是英文字母,換上數字 (0-9) 又如何?那麼我們在這方陣中找什麼?當然是素數吧!是不同的素數,如:

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9

在上面的一個 6x6 的方陣中,大家又何找到多少個不同的素數呢?(存在於連續的直、橫、斜行中,方向不拘)

如:2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、...... ,原來當中合共有 187 個不同的素數。

這樣的一個方陣,我們稱為素數陣,簡記 A(m,n)。

數學家問如何建構一個 6x6 的方陣,即 A(6,6) 使之包含最多不同的素數。最先提出這問題的是戈登.李爾 (Gordon Lee) ,他於1989 提出這問題,故這問題又稱作戈登李爾謎題 (Gordon Lee Puzzle)。其後,胡治 (Stephen C. Root) 找到了上面一個包含 187 個不同素數的解。及後德國數學家奧斯華特 (Marcus Oswald) 也找到另外五個不同的解,這五個解也各自包含 187 個不同的素數,本文不作引述,讀者可自行參考 http://mathworld.wolfram.com/PrimeArray.html

要證明這 187 個素數是最多,可不容易,惟一可說的時現時沒有包含更多素數的素數陣而已。

 

那麼其他大小的方陣又怎樣?

 

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7

這個 A(3,3) 內包含了 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 71, 73, 79, 97, 113, 157, 179, ...... 合共 30 個素數。這是由墨西哥人里弗華 (Carlos B. Rivera 1950- ) 及阿耶拉 (Jamie Ayala) 找到的,且在 1999年,美國數學家魏爾斯史甸 (Eric W. Weisstein 1969- ) 證明了三階素數陣是惟一的 (Unique) 及最多包含 30 個不同的素數。

 

 

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3

上面 4 個不同的四階素數陣中第一個是由墨西哥人里弗華 (Carlos B. Rivera 1950- ) 及阿耶拉 (J. Ayala) 於 1998 年發現,而另外的三個則是由英國人邦斐特 (James Bonfield) 於 1999年找到。當中全是含有 63 個素數,已是已知的最多的了。

 

 

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9

 

 

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上面 2 個不同的五階素數陣各含有 116 個素數,第一個是由里弗華及阿耶拉於 1998 年發現,而另一個則是由韋西迪 (Wilfred Whiteside) 在 1999年找到的。

 

至於六階素數陣最多含有 187 個素數,合共有六個之多。

第一個,我們開始用作例子的一個是胡治找到,而其他的則是由奧斯華特在 1998年發現。

 

現在讓我們看看暫時最佳的 7x7 和 8x8 的素數陣:

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9

當中包含了 281 個不同的素數

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3
1
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1
9
3
9
3
7
3

當中包含了 394 個不同的素數

這兩個素數陣都是由韋西迪找到的,前者在 1999年,而後者則在 2003 年被發現的。

 

素立方陣

另外研究素數陣的人也向立方陣方向發展,即一個 n*n*n 的立體。如:

3x3x3

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3
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0
8
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2
6
4
6
7
9
3
7
1
4
9

當中包含了 82 個不同的素數,這是由韋西迪於 1999 年找到,他還一次過找到了 8 個不同的解。

 

4x4x4

1
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3
3
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4
5
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1
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3
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2
3
7
1
9

當中包含了 283 個不同的素數,這是由邦斐特於 2000年找到的。

 

參考文獻及網址:

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 001 - The Gordon Lee Puzzle." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_001.htm.

Weisstein, E. W. "Prime Array." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimeArray.html.