再談丟勒幻方

一切由憂鬱開始

在西方,德國藝術家丟勒 (Albrecht Durer 1471-1528) 在 1514 年繪製的名畫《憂鬱》 (Melencolia I),這可能是最具數學意識的藝術品之一。這板畫當中也包含了一個四階幻方,我們可稱這類幻方為丟勒幻方 (Durer's Magic Square)。

在圖的右上方,我們可見這個四階的丟勒幻方。

 

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

這個幻方被譽為完美幻方,正因為當中很多組合的和也等同幻和 (Magic Sum) ,即 34。本人在另文《由洛書到名畫 - 幻方欣賞一》已講解過這個幻方的一些性質,這兒不作冗列了。但不可不提,我們可以用製作這個幻方的方法來製作三樣東西:一是鏡反幻方 (Mirror Magic Square)、二是更高階的丟勒幻方 (Durer's Magic Square)、三是由更高階的丟勒幻方而變化出來的更高階鏡反幻方。

 

丟勒幻方的秘密

其實製作丟勒幻方亦不難。我們可先把一個四四一十六的方陣的對角線著色:

       
       
       
       

然後我們在第一行,由右至左填上 1 至 4 ,在第二和第三行則沿左至右分別填上 5 至 8 和 9 至 12,而最末一行則和第一行相同,沿右至左填上 13 至 16。

簡單而言,第一行由右至左 (當然由左至右亦可以),接下來偶數行的填向和上一行相反,而奇數行的填向則和上一行相同。便得下圖。

4 3 2 1
5 6 7 8
9 10 11 12
16 15 14 13

把灰格的數字作上下反射:

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

這個製造幻方的方法,我們稱為丟勒法 (Durer's Method)。

 

熟悉製作幻方的網友或會留意到,丟勒法和通常製作偶階幻方 (Even Ordered Magic Square) 的對角線法 (Diagonal Method) 有點像樣。的確如此,但也有不同的地方:

    丟勒法只適用於 4 或以上的 2 的方冪,而對角線法適用 4 或以上的所有偶數。

    丟勒法每橫行的數字序向都不一樣,但對角線法中的是相同。

    丟勒法是把對角線上的數字作上下鏡反,但對角線法是作一百八十度旋轉。

    作高階丟勒幻方時得作第二次的左右鏡反,其實在原四階丟勒幻方亦可作相類似的左右鏡反,但事實上沒有而已。而對角線法只是一次過作位置變換,而非分兩次對不同的對象作位置變換。

 

總結兩者不同之處亦很多,該不易運亂的。

 

八階和十六階的丟勒幻方

我們可把類此的方法擴展至八階或任何階數為二的方冪的幻方之中。現在讓我們看看八階幻方的例子:

首先我們把當中每個四階的小幻方的對角線著色。再依下列方向:第一、四、五、八行由右至左;其餘四行由左至右填上 1 至 64。

8 7 6 5 4 3 2 1
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
32 31 30 29 28 27 26 25
40 39 38 37 36 35 34 33
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
64 63 62 61 60 59 58 57

再把灰格的數字作上下鏡反:

64 7 6 61 60 3 2 57
9 50 51 12 13 54 55 16
17 42 43 20 21 46 47 24
40 31 30 37 36 27 26 33
32 39 38 29 28 35 34 25
41 18 19 44 45 22 23 48
49 10 11 52 53 14 15 56
8 63 62 5 4 59 58 1

我們發現這幻方也是一個關聯幻方,且其橫看第一、二行兩格中的數字之和,第三、四行兩格中的數字之和 ,第五、六行兩格及最末兩行兩格中的數字之和形成如下左表的規律。反過來,我們直行每兩格的數字之和也形成右圖的規律:

71 67 63 59
59 63 67 71
59 63 67 71
71 67 63 59
71 67 63 59
59 63 67 71
59 63 67 71
71 67 63 59
73 57 57 73 73 57 57 73
57 73 73 57 57 73 73 57
73 57 57 73 73 57 57 73
57 73 73 57 57 73 73 57

 

這已是一個幻方了。但問題來了,這似乎和原有的丟勒幻方有點不相同:原來的四階幻方中兩相鄰元素之和,不論直行還是橫行,也只有兩種不同的數值;但現在的左圖卻混進了四個不同的數值。

 

解決方法是得再作一次橫向的變換,而這個變換是原來四階的丟勒幻方中沒有的:

64 7 6 61 60 3 2 57
9 50 51 12 13 54 55 16
17 42 43 20 21 46 47 24
40 31 30 37 36 27 26 33
32 39 38 29 28 35 34 25
41 18 19 44 45 22 23 48
49 10 11 52 53 14 15 56
8 63 62 5 4 59 58 1

對,又是看著灰色的格,但這回是左右鏡反:

64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1

即成下圖的製成品:

64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1

 

這個新的幻方,橫看相鄰兩行的和分別是 64 和 66,而直看鄰兩行的和分別是 73 和 57:

66 64 66 64
64 66 64 66
64 66 64 66
66 64 66 64
66 64 66 64
64 66 64 66
64 66 64 66
66 64 66 64
73 57 57 73 73 57 57 73
57 73 73 57 57 73 73 57
73 57 57 73 73 57 57 73
57 73 73 57 57 73 73 57

 

這樣,只要我們選擇和分別為 64 及 66 的數組各兩對,或和分別為 57 及 73 的數組各兩對,便可湊足 260 這個幻和了。當然該幻方亦是一個關聯幻方 (Associative Magic Square),即找依中央作旋轉對稱的兩點的和會是 65,這樣任找四對,亦可湊足 260來。

丟勒或然沒有以此法創製八階幻方,但這其實不是一個新創的幻方,因為和丟勒差不多相同時期的另一人,德國哲學家、神學家兼天文學家阿格里帕 (Heinrich Cornelius Agrippa 1486-1535) 早對幻方有研究。大約 1510年,他製作了三階至九階的幻方,分別冠以土星 (Saturn) 、 木星 (Jupiter) 、 火星 (Mars) 、 太陽 (Sol) 、 金星 (Venus) 、 水星 (Mercury) 和月亮 (Luna) 的名字,其中四階和八階幻方正和我們討論的幻方結構相同。

說回那個八階幻方,各行元素的平方和也是成雙成對的出現:不論橫直,第四、五行的平方和是相同的,第三、六行的平方和也是相同;第二、七行和第一、八行亦然:不信的話,拿計算機出來計一計便知曉。 順便一言,直行,第四、三、二、一行的平方和分別為 11140、11156、11188 和 11236 ,這四數成一道二次算術數列 (Arithmetic Sequence),即兩相鄰數字的差成一公差為 16 的算術數列;而橫行,第四、三、二、一行的平方和分別為 8620、9644、11692 和 14764,這四數亦成一道二次算術數列,而兩相鄰數字的差這回成一公差為 1024 的算術數列。 若階數為 n = 8,則此兩公差,一為 2n,一為 2n3。 這現象在原有的四階丟勒幻方中看不見,但在接下來的十六階丟勒幻方中則可印證。

 

以下來是十六階的丟勒幻方:

256 2 3 253 252 6 7 249 248 10 11 245 244 14 15 241
17 239 238 20 21 235 234 24 25 231 230 28 29 227 226 32
33 223 222 36 37 219 218 40 41 215 214 544 45 211 210 48
208 50 51 205 204 54 55 201 200 58 59 197 196 62 63 193
192 66 67 189 188 70 71 185 184 74 75 181 180 78 79 177
81 175 174 84 85 171 170 88 89 167 166 92 93 163 162 96
97 159 158 100 101 155 154 104 105 151 150 108 109 147 146 112
144 114 115 141 140 118 119 137 136 122 123 133 132 126 127 129
128 130 131 125 124 134 135 121 120 138 139 117 116 142 143 113
145 111 110 148 149 107 106 152 143 103 102 156 127 99 98 160
161 95 94 164 165 91 90 168 169 87 86 172 173 83 82 176
80 178 179 77 76 182 183 73 72 186 187 69 68 190 191 65
64 194 195 61 60 198 199 57 56 202 203 53 52 206 207 49
209 47 46 212 213 43 42 216 217 39 38 220 221 35 34 224
225 31 30 228 229 27 26 232 233 23 22 236 237 19 18 240
16 242 243 13 12 246 247 9 8 250 251 5 4 254 255 1

這個幻方,橫看相鄰兩行的和分別是 256 和 258,而直看鄰兩行的和分別是 241 和 273。看看要找出幻和 2056 的組合也不難呢。

 

此外,這幻方中各行的平方和也是左右或上下對稱的,如第一行和第十六行的平方和是相同的,或第八行和第九行的平方和也相同等。直行,第八至第一行的平方和分別為 351240、351272、351336、351432、351560、351720、351912 和 352136,這是一道公差為 32 的二次算術數列;而橫看,第八至第一行的平方和分別為  8192、16384、24576、32768、40960、49152 和 57344,這便是一道公差為 8192 的二次算術數列。我們亦看到 32 = 2*16 ,8192 = 2*16*16*16,這不印證我們剛才在八階丟勒幻方看到的事情嗎?

 

再高一階又如何?那便是三十二階了,合共有 1024 個格得填上,以這方法製不算太難,只是得花點時間而已。

 

拿片鏡子照幻方

所謂鏡反幻方,即把整個幻方作上下或左右鏡反 (Reflection),鏡像依然是一個幻方。由於得把幻方連同數字作鏡反,故我們只可使用 1、8 或 0 或其組成的數字填進幻方中。當然若然我們不是要鏡反,而是要求旋轉 (Rotation) 的話,2、5、6、9也可使用的。

 

若我們四階的丟勒幻方中各值減一,再轉為二進制,便得到一個鏡反幻方來:

1111 0010 0001 1100
0100 1001 1010 0111
1000 0101 0110 1011
0011 1110 1101 0000

但是以零作為一數之始,總感不妙,故得把幻方數字中的 0 更換成 8。廣東人「八」喻意「發財」,所以我說這是一個「意頭」極佳的幻方 :

1111 8818 8881 1188
8188 1881 1818 8111
1888 8181 8118 1811
8811 1118 1181 8888

其實我們把 0 和 1 代換成任何不同的數字,結果也成幻方。

幻方中每一個數字也是上下對稱,也和自身或別數字成左右對稱,而其幻和是 19998,同時亦符合原幻方的各項條件,怪不怪哉?其實這因由很簡單,因直、橫或對角線各行中的四個數字合共使每個數位均有兩個 0 和兩個 1。而不論把零和一代換成任何不同的數字,即數字出現的次數也相同,其和自然也相同了。

 

誠如先前所述,若把這鏡反幻方左右或上下反射,也成另一個幻方。現在我們反一反,看一看吧:

8811 1888 8188 1111
1118 8181 1881 8818
1181 8118 1818 8881
8888 1811 8111 1188
8811 1118 1181 8888
1888 8181 8118 1811
8188 1881 1818 8111
1111 8818 8881 1188

其實我們把這個幻方作一百八十度旋轉,又會得出一個「意頭」極佳的幻方來:

8888 1811 8111 1188
1181 8118 1818 8881
1118 8181 1881 8818
8811 1888 8188 1111

 

外國人亦以 IXOHOXI 來稱呼此類幻方,單看名字已知這幻方的反射對稱特性了。

 

再看八階的鏡反幻方:

111111 888881 888818 111188 111811 888181 888118 111888
881888 118118 118181 881811 881188 118818 118881 881111
818888 181118 181181 818811 818188 181818 181881 818111
188111 811881 811818 188188 188811 811181 811118 188888
811111 188881 188818 811188 811811 188181 188118 811888
181888 818118 818181 181811 181188 818818 818881 181111
118888 881118 881181 118811 118188 881818 881881 118111
888111 111881 111818 888188 888811 111181 111118 888888

 

看到個幻方,我不禁想起《易經》和《六十四卦》來。

其實我們看《易經》也不用看得太過神化,那不過以陰陽組合代表八樣自然的東西 (八卦),再由此衍生出六十四樣與自然、生活等有關的事情來,訴出一些處世的哲學而已。而陰陽我們可以以一和零表示,故六十四卦便等同一組六位的二進制數了。我現在不過把這六十四個數排在一個幻方中而已。

 

再來一個十六階的鏡反幻方:

 

11118888 88881118 88881181 11118811 11118188 88881818 88881881 11118111 11111888 88888118 88888181 11111811 11111188 88888818 88888881 11111111
88811111 11188881 11188818 88811188 88811811 11188181 11188118 88811888 88818111 11181881 11181818 88818188 88818811 11181181 11181118 88818888
88181111 11818881 11818818 88181188 88181811 11818181 11818118 88181888 88188111 11811881 11811818 88188188 88188811 11811181 11811118 88188888
11888888 88111118 88111181 11888811 11888188 88111818 88111881 11888111 11881888 88118118 88118181 11881811 11881188 88118818 88118881 11881111
18118888 81881118 81881181 18118811 18118188 81881818 81881881 18118111 18111888 81888118 81888181 18111811 18111188 81888818 81888881 18111111
81811111 18188881 18188818 81811188 81811811 18188181 18188118 81811888 81818111 18181881 18181818 81818188 81818811 18181181 18181118 81818888
81181111 18818881 18818818 81181188 81181811 18818181 18818118 81181888 81188111 18811881 18811818 81188188 81188811 18811181 18811118 81188888
18888888 81111118 81111181 18888811 18888188 81111818 81111881 18888111 18881888 81118118 81118181 18881811 18881188 81118818 81118881 18881111
81118888 18881118 18881181 81118811 81118188 18881818 18881881 81118111 81111888 18888118 18888181 81111811 81111188 18888818 18888881 81111111
18811111 81188881 81188818 18811188 18811811 81188181 81188118 18811888 18818111 81181881 81181818 18818188 18818811 81181181 81181118 18818888
18181111 81818881 81818818 18181188 18181811 81818181 81818118 18181888 18188111 81811881 81811818 18188188 18188811 81811181 81811118 18188888
81888888 18111118 18111181 81888811 81888188 18111818 18111881 81888111 81881888 18118118 18118181 81881811 81881188 18118818 18118881 81881111
88118888 11881118 11881181 88118811 88118188 11881818 11881881 88118111 88111888 11888118 11888181 88111811 88111188 11888818 11888881 88111111
11811111 88188881 88188818 11811188 11811811 88188181 88188118 11811888 11818111 88181881 88181818 11818188 11818811 88181181 88181118 11818888
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相信大家看到這麼多 8 和 1 ,定必頭暈了。

但我還是欣賞鏡反幻方的對稱美和意頭好,是故特意精選字體,把四階和八階的鏡反幻方製成文本 IXOHOXI.pdf,以供諸君下載。新年拿張來當作揮春亦可以,上下左右怎貼也可。

 

參考文獻及網址

Heinz, H. "More Magic Square." From Magic Hypercube Hompage http://www.magic-squares.net/moremsqrs.htm.

Pickover, C. A. The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. New Jersey : Princeton University Press , 2002