再談素幻方

三階素幻方

我們已在連續素幻方 (Consecutive Prime Magic Square) 中談及一些和幻方 (Magic Square) 相關的故事。若我們把要求降低,不求連續,只要素數,找來的幻方或會更容易。

 

大家且看一例:

47
29
101
113
59
5
17
89
71
4
3
8
9
5
1
2
7
6

左方紅色的是一個三階素幻方,右方藍色的則是一個普通的三階幻方。

 

觀察素幻方 (Prime Magic Square) ,我們可知正中央的數 (59) 是全行總和 (177) 的三分之一,這和右方幻方相同。利用這發現,我們不難創製三階素幻方。我們先定中央的素數,再把其兩倍分拆成 2 個素數的和,要有四種不同的分拆方法,然後把數字依右圖次序入座便成。但不是任何素數都可充當「中央大官」,如我們以 11 為中央,但 22 的分拆法僅 22 = 3+19 和 22 = 5+17 兩種,未及四種,故 11 未夠資格充當「中央大官」了。當然找到中央的素數和分拆組合以後,我們還得看看其他橫直行是否相等,但這已減少了不少無謂的測試了。

 

其實最小的三階素幻方正是上例。若以 89 為中央,我們可得:

71
47
149
167
89
11
29
131
107

素幻方中可否有 2 的存在?答案是不可,因若有 2 在其中一行一格內,包括該格的橫直 (或斜) 行的總和的奇偶性 (Parity) 必定和其他的不同。因此惟一的偶素數 (Even Prime)  2 又一次被其他素數排擠了。反之,1 這個不是素數的數字卻偶爾出現於素幻方中。

 

高階素幻方

高階素幻方 (High Ordered Prime Magic Square),創製的限制會更多,故本人討來例子一二,以供欣賞。

17
317
397
67
307
157
107
227
127
277
257
137
347
47
37
367

 

11
3851
9257
1747
6481
881
5399
6397
827
5501
71
3779
9221
1831
3881
9281
1759
6361
911
5417
17
839
5381
101
3797
9227
1861
6421
9311
1777
6367
941
5441
29
3761
5387
131
3821
9239
1741
6451
857
1801
6379
821
5471
47
3767
9341

上述兩幻方均有同一特點,每行個位總和是相同的:四階素幻方是「全七」的,個位總和全為 4*7 = 28;而七階素幻方的每一行包括了一個 9 、 兩個 7 和四個 1 ,個位總和為 9+2*7+4*1 = 27 。這樣使我們拿掉個位,這仍是一幻方。

 

說到最美的素幻方,則不可不看看下例的十三階素幻方了:

這不單是一個素幻方,而且是一個鑲邊幻方 (Bordered Magic Square) 或稱同心幻方 (Concentric Magic Square) ,即中央的 11*11、9*9、...... 、3*3 也全是幻方。

 

素冪和幻方

所謂冪和幻方 (Multimagic Square),即指一幻方的各數字各自平方、取三次方,甚自更高次方以後,各直、橫 (以及對角線) 的和也是等同,即也成幻方。若該幻方各數字經平方後仍是幻方,我們稱為平方幻方 (Bimagic Square) ;若該幻方各數字經立方後仍是幻方,我們稱為立方幻方 (Trimagic Square) ,如此類推。關於冪和幻方的介紹,可參看《由棋局到數獨 - 幻方欣賞二》一文。

 

自素幻方出現以後,挑戰數學難度的人開始把各樣幻方的中問題引入素數世界中,冪和幻方的概念也不例外,這便是素冪和幻方 (Prime Multimagic Square) 。

29
293
641
227
277
659
73
181
643
101
337
109
241
137
139
673

我們可知當中 16 個數字全是不同的素數;

幻和 (Magic Sum) 即直、橫各行的和是 1190;

各數平方後,幻和是 549100;

但其對角線各數在平方前或後,其和也和別行不相同;

故這是一個素平方幻方 (Prime Bimagic Square) ,但不包括對角線。

這幻方是由一位名叫波亞 (Christian Boyer) 的數學工作者於 2004 年提出,但到底會不會有更高階或更完美的 (包括對角線) 的素冪和幻方,則拭目以待。

 

三級跳素幻方

193
457
659
4483

1709

3433
283
367
3343
479
1597
373
547
1423
3253
569

素幻方也懂三級跳?

 

我是借用來形容這個特別的幻方而已。原來這個幻方的幻和為 5792;把各數加上 2310 後,仍是一個幻和為 15032 的素幻方;再來一次,再把各數加上 2310 ,仍是一個幻和為 24272 的素幻方。對於普通幻方而言,「跳」多少級也不成問題,但素幻方則不是了。

 

參考文獻及網址:

吳鶴齡 "素數幻方" , 自 幻方及其他娛樂數學經典名題 , 北京 : 科學出版社 , 2004 頁 93-98

Boyer, C. Multimagic Square Site. http://www.multimagie.com/indexengl.htm.

Weisstein, E. W. "Bimagic Square." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BimagicSquare.html.

Wikipedia. "Bimagic Square." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Bimagic_square.