等冪和的學問

一個幻方開始

讓我們先看看一個幻方 (Magic Square):

1 22 33 41 62 66 79 83 104 112 123 144
9 119 45 115 107 93 52 38 30 100 26 136
75 141 35 48 57 14 131 88 97 110 4 70
74 8 106 49 12 43 102 133 96 39 137 71
140 101 124 42 60 37 108 85 103 21 44 5
122 76 142 86 67 126 19 78 59 3 69 23
55 27 95 135 130 89 56 15 10 50 118 90
132 117 68 91 11 99 46 134 54 77 28 13
73 64 2 121 109 32 113 36 24 143 81 72
58 98 84 116 138 16 129 7 29 61 47 87
80 34 105 6 92 127 18 53 139 40 111 65
51 63 31 20 25 128 17 120 125 114 82 94

這可不是一個普通的 12 階幻方,它是一個立方幻方 (Trimagic Square) 即本身各直、橫行之和相等為 870,把各數平方後所形成的幻方之各直、橫行之和亦相等為 83810,把各數立方後所形成的幻方之各直、橫行之和亦相等為 9082800。不單如此,更難得的是此幻方的兩條對角線也確守此和,不作另值。

要把適當數字填上,使直、橫 (或對角) 各行的和相等,已是不易。更要使其平方和 (Sum of Squares)、立方和 (Sum of Cubes) 亦相等,其難度近乎攀天了。此幻方當然不是數老本人創作,然而如何得到,已難回憶,如有雷同實屬巧合。

當我們創制這些冪和幻方 (Multimagic Square) 時,等冪和問題 (Prouhet - Tarry - Escott Problem) 的研究變得非常重要了。

 

等冪和問題

等冪和問題,是指兩組元素各不相同的數組,兩組的總和、平方和、立方和以致任一次方的總和也相等。等冪和問題的英文名稱是以三位研究此問題的數學家來命名的,他們分別是早在大十九世紀 50 年代便研究此問題的鮑希特 (Eugene Prouhet) 和 二十世紀初的數學家泰利 (Gaston Tarry 1843-1913) 和 艾斯葛 (Escott)。

問題提出至今已過百年,但研究方面沒有多大的突破,對於問題的解法亦未確立通則,只是找到一些例證而已,如:

 

0 + 5 + 6 + 16 + 17 + 22 = 1 + 2 + 10 + 12 + 20 + 21

02 + 52 + 62 + 162 + 172 + 222 = 12 + 22 + 102 + 122 + 202 + 212

03 + 53 + 63 + 163 + 173 + 223 = 13 + 23 + 103 + 123 + 203 + 213

04 + 54 + 64 + 164 + 174 + 224 = 14 + 24 + 104 + 124 + 204 + 214

05 + 55 + 65 + 165 + 175 + 225 = 15 + 25 + 105 + 125 + 205 + 215

上例每組六個數,至五次方和亦相等。

其實我們以把上式兩組數字看成 a - 11 , a - 6 , a - 5 , a + 5 , a + 6 , a + 11 和 a - 10 , a - 9 , a - 1 , a + 1 , a + 9 , a + 10,其中 a = 11。

兩組之和同為 6a,各自平方和同為  6a2 + 364,各自立方和同為 6a3 + 1092a ,各自四次冪和同為 6a4 + 2184a2 + 33124,各自五次冪和同為 6a5 + 3640a3 + 165620a。換而言之,代入任何 a 值,兩組數的各自和各自二次至五次冪和也相等。

 

另外下列兩組數:

1, 6, 7, 23, 24, 30, 38, 47, 54, 55 跟 2, 3, 10, 19, 27, 33, 34, 50, 51, 56

的各自和及各自二次至八次冪和也相等。

 

例子可不易找,亦找到不少,但此乎距離問題得解還是很遙遠。

 

參考文獻及網址:

Wikipedia. "Prouhet–Tarry–Escott Problem." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Prouhet–Tarry–Escott_problem.

沈康身. 歷史數學名題賞析 , 上海:上海教育出版社 , 2002 pp 1165