神秘的素三角

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 4 3 2 5

1 4 3 2 5 6

......

 (OEIS A051237)

　

看了上方的一個數陣，大家或會問：「這和素數有什麼關係呢？」

這便是這個素三角 (Prime Triangle) 神秘的地方了。先讓我來形容一下這個三角陣，第一行沒東西 ，第二行有 1 和 2 ，基本上每一行便有一個由 1 起至 N 完，每個數字出現一次所組成的數列。再看一看，也不用什麼檢驗方法，也知道首 6 行沒有一行是素數，還配在名字上冠以「素」嗎？別動氣，素數便隱藏在其中，三角中相鄰的兩個數字總和便是素數，即

第二行： 1 + 2 = 3；

第三行： 1 + 2 = 3， 2 + 3 = 5；

第四行： 1 + 2 = 3， 2 + 3 = 5， 3 + 4 = 7；

第五行： 1 + 4 = 5， 4 + 3 = 7， 3 + 2 = 5， 2 + 5 = 7；

第六行： 1 + 4 = 5， 4 + 3 = 7， 3 + 2 = 5， 2 + 5 = 7， 5 + 6 = 11。

由第二至第六行，答案也是唯一的，但第七行則不一樣了，有兩種不同的可能性，是什麼？大家不如動一動腦筋吧。

動完腦以後可在這兒看答案。

而第八行，更有 4 種不同的結果呢。

而不同行數的可能性數目，分別為 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 7, 24, 80...... (OEIS A036440)

　

參考文獻及網址：

Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 106, 1994.

Weisstein, E. W. "Prime Triangle." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimeTriangle.html.