神秘的素三角

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 4 3 2 5

1 4 3 2 5 6

......

 (OEIS A051237)

 

看了上方的一個數陣,大家或會問:「這和素數有什麼關係呢?」

這便是這個素三角 (Prime Triangle) 神秘的地方了。先讓我來形容一下這個三角陣,第一行沒東西 ,第二行有 1 和 2 ,基本上每一行便有一個由 1 起至 N 完,每個數字出現一次所組成的數列。再看一看,也不用什麼檢驗方法,也知道首 6 行沒有一行是素數,還配在名字上冠以「素」嗎?別動氣,素數便隱藏在其中,三角中相鄰的兩個數字總和便是素數,即

第二行: 1 + 2 = 3;

第三行: 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5;

第四行: 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7;

第五行: 1 + 4 = 5, 4 + 3 = 7, 3 + 2 = 5, 2 + 5 = 7;

第六行: 1 + 4 = 5, 4 + 3 = 7, 3 + 2 = 5, 2 + 5 = 7, 5 + 6 = 11。

由第二至第六行,答案也是唯一的,但第七行則不一樣了,有兩種不同的可能性,是什麼?大家不如動一動腦筋吧。

動完腦以後可在這兒看答案。

而第八行,更有 4 種不同的結果呢。

而不同行數的可能性數目,分別為 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 7, 24, 80...... (OEIS A036440)

 

參考文獻及網址:

Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 106, 1994.

Weisstein, E. W. "Prime Triangle." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimeTriangle.html.