誰是白先生

法國女數學家熱爾曼 (Marie-Sophie Germain 1776 - 1831)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

索菲熱爾曼素數 (Sophie Germain Prime) 是一奇素數 p 可使 2p+1 亦為素數,如 3 (2*3+1=7)、5 (2*5+1=11)、11 (2*11+1=23) 等。這是紀念法國女數學家熱爾曼 (Marie-Sophie Germain 1776-1831) 的貢獻。她證明了費馬大定理 (Fermat's Last Theorem, xn + yn = zn ,當 n 大於 2 時沒有非零整數解) 對 n 為索菲熱爾曼素數時是正確的。而這難題終在上世紀未由英國數學家懷爾斯 (Andrew Wiles 1953- ) 得到全證。

熱爾曼其人是一個害羞的女孩子,13歲時偷閱父親的關於阿基米德 (Archimedes 前287 - 前212) 生平的書籍,開始對科學有興趣。對於熱爾曼,最為有趣是其和數學王子高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777-1855) 的交往。在 1804 年她看完高斯的著作《算術研究》 (Disquisitiones Arithmeticae) 以後,她便以「Le Blanc」,即法文「白先生」的署名和高斯通訊。在 1806 年高斯洞悉其身為女子,但高斯反而更為她的勇氣而敬佩。至 1808 年高斯轉向應用數學,他們間的通訊才終斷。其間熱爾曼共寫了十二封信予高斯。高斯對熱爾曼在數學上的態度和工作深表讚揚,更在信中寫上:「科學和數學不是會使許多人注意的科目,只有有勇氣願意深入探討的人才會愛它。對於一個異性來說,我們世俗的偏見和傳統是製造無窮的障礙使她們克服許多困難才可進入這園地,如果她們能進入研究,她們需具有無可置疑的勇氣和天才......」

 

在 1830年,熱爾曼得高斯的推薦下獲格丁根大學 (Georg-August University of Gottingen) 所頒發的榮譽學位,可惜次年她因乳癌去逝。

熱爾曼發現了如果 n是素數,2n+1 亦是素數,則 xn + yn = zn 的 x、y、z其中一個能被 n 整除。

這對於解決費馬大定理中的奇素數部份起了很大的作用,她更證明了對 n < 100 的所有奇素數沒非零整數解,即費馬大定理對所有小於 100 奇素數 n 均成立。

於是後來研究素數的人就把 p 和 2p+1 的組合稱為索菲熱爾曼素數。

不可不提,原來若 p>3 ,且 p 為 4k+3 型的索菲熱爾曼素數,則 2p+1 會是梅森數 (Mersenne Number, Mp ) 的因子。

 

參考文獻及網址:

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Sophie Germain." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=2.

Weisstein, E. W. "Sophie Germain Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html.

 

Free Web Hosting