代代相傳 - 坎寧安鏈
若我們把索菲熱爾曼素數 (Sophie Germain Prime) 理解為兩代素數之間的關係，我們同時把關係延伸下去，便有坎寧安鏈 (Cunningham Chain)。坎寧安鏈是指一素數列 q1 < q2 < q3 < ...... < qk ，而使 qi+1 = 2*qi - 1 (qi+1 = 2*qi + 1) ， 其中 i = 1、2、3、......、k-1。上述的數列我們稱為第一型 (第二型) 坎寧安鏈。但由於長度 2 的第一型坎寧安鏈，其實即是索菲熱爾曼素數而已，故本文不作冗述。
下表列一些在不同長度中最大的第一型坎寧安鏈 (Cunningham Chain of the First Kind)：
鏈中的第一個素數 |
數位 |
長度 |
發現者 |
年份 |
164210699973 * 226326- 1 |
7937 |
3 |
巴列當 (Michael Paridon) |
2006 |
119184698 * 5501# - 1 |
2354 |
4 |
孫輁 (Jiong Sun) |
2005 |
5864262128 * 1201# - 1 |
514 |
5 |
查費利 (Chaffey) |
2006 |
33692909611 * 977# - 1 |
417 |
6 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2004 |
1283378648 * 547# + 24329885579 |
232 |
7 |
雲威利根 (van Willegen) / 贊斯．安德遜 (Jens
Kruse Andersen) |
2006 |
2 * 65728407627 * 431# - 1 |
186 |
8 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2005 |
65728407627 * 431 # - 1 |
185 |
9 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2005 |
3462418 * 151# + 5286829397849 |
66 |
10 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) |
2004 |
4608461*107# + 178414906509839 |
50 |
11 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) |
2004 |
4431659 * 89# + 440181861259139 |
42 |
12 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2006 |
1753286498051 * 71# - 1 |
39 |
13 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2005 |
9510321949318457733566099 |
25 |
14 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
11993367147962683402919 |
23 |
15 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) |
2004 |
892390227741617675069 |
21 |
16 |
卡莫迪 (Phil Carmody) / 祖比寧 (Paul Jobling) |
2002 |
註：p# 為不少於 p 的素數相乘。記錄更新至 2008 年。
下表列出在不同長度中最大的第二型坎寧安鏈 (Cunningham Chain of the Second Kind)：
鏈中的第一個素數 |
數位 |
長度 |
發現者 |
年份 |
2366867925 * 217206 + 1 |
5189 |
3 |
孫輁 (Jiong Sun) |
2004 |
1453501013 * 4127# + 1 |
1770 |
4 |
孫輁 (Jiong Sun) |
2005 |
1719674368 * 1447# + 1 |
613 |
5 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2004 |
37783362904 * 1097# + 1 |
475 |
6 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2006 |
414792720846 * 557# + 1 |
237 |
7 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2006 |
269149854 * 311# + 1565403841 |
134 |
8 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) |
2004 |
745395266 * 211# + 1503602101 |
94 |
9 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) |
2004 |
145683282311 * 181# + 1 |
84 |
10 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2005 |
2 * (8428860 * 127# + 212148902055091) - 1 |
56 |
11 |
奧古斯甸 (Dirk Augustin) |
2006 |
8428860 * 127# + 212148902055091 |
56 |
12 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2006 |
938719 * 67# + 56461354019071 |
31 |
13 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
2192572142097431045171221 |
25 |
14 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
1081574468532104336791 |
22 |
15 |
贊斯．安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) |
2004 |
3203000719597029781 |
19 |
16 |
科比斯 (Tony Forbes) |
1997 |
註：p# 為所有不少於素數 p 的素數乘積。記錄更新至 2008 年。
參考文獻及網址：
Augustin, D. "Cunningham Chain Records." http://hjem.get2net.dk/jka/math/Cunningham_Chain_records.htm.
Caldwell, C. K. "Prime Pages. The Top Twenty: Cunningham Chain (1st kind)." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=19.
Caldwell, C. K. "Prime Pages. The Top Twenty: Cunningham Chain (2nd kind)." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=20.
