由第一對孿生素數談起

英國數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy 1877-1947)

英國數學家李特伍德 (John Edenser Littlewood 1885-1977)

(照片均取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

　

素數的雙胞胎

(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)、(29,31)等，這些組合中的兩個素數均相 2 ，我們稱為一對對的孿生素數 (Twin Primes)。孿生即雙胞胎，這些素數組一對一對相鄰，尢如同胞雙生的嬰兒般。日本人稱「雙胞胎」為雙子，故他們也稱這類素數對為「雙子素數」。用數學的用詞即若 p 為素數， p+2 也是素數。

在素數世界中，孿生素數也不難找到，在 100 以內已有 8 對，在 1000 以內已有 35 對，在 10000 以內則有 213 對。我為大家預備了首 100000 對孿生素數，欲窺全豹，這邊有請。

　

沒人會用的孿生素數判別式

1949年，基文特 (P. A. Clement) 對孿生素數作了以下的描述：

設 n 不少於 2， n 和 n + 2 是孿生素數對當且僅當 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n(n+2) )

即 上式左方的結果為 n(n+2) 的倍數。

證明也不太困難，只是威爾遜定理 (Wilson's Theorem) 的一個應用。和威爾遜定理相關的事情，可參考《沒人會用的判別法》一文。

若同餘式成立，則 n 不可為 2 或 4，即 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n) 及 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n+2)

先看看 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n)，得

(n-1)! + 1 = 0 (mod n)

由威爾遜定理可知 n 為素數；

再看 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n+2)

即 4 [ (n-1)! + 1] - 2= 0 (mod n+2)

4(n-1)! + 2 = 0 (mod n+2)

兩邊乘以 n(n+1)，得

4(n+1)! + 2*n*(n+1) = 0 (mod n+2)

4[(n+1)! + 1] + 2n² + 2n - 4 = 0 (mod n+2)

4[(n+1)! + 1] + (n+2) (2n-2) = 0 (mod n+2)

即 (n+1)! + 1 = 0 (mod n+2)

由威爾遜定理可知 n+2 為素數；

　

反之 若 n 及 n+2 均為素數，則 n 不為 2 且

(n-1)! + 1 = 0 (mod n) 及 (n+1)! + 1 = 0 (mod n+2)

但 n(n+1) = (n+2) (n-1) + 2 ，所以 2(n-1)! + 1 = k(n+2)，其中 k 為整數。

由 (n-1)! = -1 (mod n) ，可知 2k + 1 = 0 (mod n)

代入原式得 4(n-2)! + 2 = -(n+2) (mod n(n+2))，所以得證。

這個方法對決定孿生素數沒有多大的價值，因為計算 (n-1)! 也相當費時，特別當 n 很大時。是故找孿生素數也不會用上式。

　

奇怪的孿生素數

其實孿生素數也有很多奇怪的特性，下面略述一二：

　

除了 (3,5) 一組外，所有孿生素數的和均是 12 的倍數 (Multiple)。

5 + 7 = 12、11 + 13 = 24 = 2 * 12、17 + 19 = 36 = 3 * 12、29 + 31 = 60 = 5 * 12、......

原因很簡單，除了 (3,5) 一組外，所有孿生素數的第一數除以 6 一定餘 5 ，記為 p = 5 (mod 6)。因這 p 不可能餘 2、4、0，因這全是偶數不會是素數；亦不會餘 3 ，因這是 3 的倍數，是合數；亦不可能是餘 1，因若餘 1 ，p+2 便餘 3 成了合數。故 p = 5 (mod 6) 及 p+2 = 1 (mod 6) ，所以其中值必是 6 的倍數，其和則再是中值 (Mean) 的 2 倍，即 12 的倍數。

　

猜想一個

另外人們早就對孿生素數的個數有興趣，早在 1849 年，數學家波歷納克 (Alphonse de Polignac 1826-1863) 提出了存有無限多個素數 p，使 p+2k (k 為一定值) 為素數。我們所說的孿生素數猜想  (Twin Primes Conjecture) 便是當 k=1 時的情況了。到了 1922年哈代 (Godfrey Harold Hardy 1877-1947) 和李特伍德 (John Edenser Littlewood 1885-1977) 提出不超過 N 的孿生素數個數為 z(N) = CN / log(logN) ，其中 C 為一常數，C=1.3202......，這亦只是一猜想而已。透過統計分析測定正確，但未經數學上的邏輯證明，其實普遍的各類素數極限也是這樣。

又有人問孿生素數是否有無限對之多？人們相信是，但至今未有人完全把這證明出來。這正是著名的孿生素數猜想，亦是我們數論三大難題之一，三大難題包括費馬大定理 (Fermat's Last Theorem)、哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 和孿生素數猜想，其中費馬大定理已為人全解，現在數論學者的注意力會轉到剩下來的兩大難題之上。無巧不成，走在這兩大難題的最前面的也是我們中國人 - 陳景潤 (Jingrun Chen 1933-1996)。

其中在孿生素數猜想的問題上，陳景潤得到一結論：存在無窮多個素數 p ，使 p+2 為素因子個數不超過 2 的殆素數 (Almost Prime)，這便是陳氏定理 (Chen's Theorem)。殆素數是指一合數或素數，而其素因子個數不多於指定的數目 (現在是 2) 。只要我們可把「素因子個數不超過 2 的殆素數」換寫成素數，孿生素數猜想的問題便成歷史，但這一換不知是多少年後的事。

　

陳氏素數

順道一提，若 p 為素數，且 p+2 為一 「素因子個數不超過 2 的殆素數」，則稱 p 為陳氏素數 (Chen Prime)。

其實孿生素數中較小的一個素數必定為陳氏素數。陳氏素數由何而來，和陳氏定理一樣，陳景潤。

順道二提，陳氏素數有多少個呢？存在無限多組三個的陳氏素數形成算術數列 (Arithmetic Sequence)，這變相證明了陳氏素數的個數是無限的。而證明這個事實的數學家正包括另一華人：澳洲華裔數學家陶哲軒 (Terence Chi-Shen Tao 1975- )。這事實是陶哲軒和英國數家格林 (Ben J. Green 1977- ) 於 2004 證明格林- 陶定理 (Green Tao Theorem)，即存在任意長的素數算術數列的一個應用。其後，陶哲軒以此功績奪得 2006年的菲爾茲獎 (Fields Medal)，成為首位澳洲人奪得這個數學界的最高榮譽。

　

又是華人

到了 2013 年 5月14日，美國華裔數學家張益唐 (Zhang Yitang 1955- )證明了「存有無限多對素數相差均小於七千萬」。這代表了什麼？若能把「相差均小於七千萬」縮至「相差 2」，那猜想便不再是猜想了。這或許給了數學家另一個方向和啟示，或許還有很長的路要走，但畢竟是一成就。張益唐師承潘承彪 (Pan Chengbiao 1938- )，潘承彪和其兄潘承洞 (Pan Chengdong 1934-1997) 也是中國數論界的翹楚，潘承洞更曾與王元 (Wang Yuen 1960- ) 和陳景潤一同因研究數論而受國家表彰。

潘氏昆仲所著的「初等數論」(北京大學出版社) 是一本寫得很詳細的數論入門書籍，也為本人添了不少數論的知識。要知道我那年代，「浸會大學」的數學系側重應用，「統計」和「分析」我倒聽了不少，但那不是興趣之所在，考試之後已不知放在腦海中的哪處了。但我根本沒有正式修習數論的相關課程，那丁點知識也只有自習而來，奈何本人根基淺薄，也只看得懂那些「初等」而已。

其實孿生素數猜有更廣泛的定義，我們不只可以探討相差為 2 的素數對，數學家相信任何相差為 2k (k 為一定值) 的素數對的數目也是無限。故若解決了孿生素數猜想，其方法或會有助深研其他的素數對的個數問題，作用不輕。正如小說家常說：「欲知後事如何，且聽下回分解」。

　

　

參考文獻及網址：

Caldwell, C. "The Top Twenty: Twin Primes." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1.

Guy, R. K. "Gaps between Primes. Twin Primes." §A8 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 19-23, 1994.

Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 41, 1986.