更長的素數鏈
由一猜想開始
素數組也有它們的猜想，是這個多子素數猜想 (Prime K - tuple Conjecture)：
設 k 不少於 2，而 (b1、b2、b3、......、bk-1) 為一個允許的 (k - 1) 正整數組，則存在無限多個素數 p 使 p, p+b1、p+b2、p+b3、......、p+bk-1均為素數。
這一猜想意味著我們下面介紹的多子素數 (Prime K - tuple) 有無限個，但這仍是一猜想而己。
由於連續三個奇數中必有一個是 3 的倍數，連續五個奇數中必有一個是 5 的倍數，連續七個奇數中必有一個是 7 的倍數等，所以我們不是考慮純粹的任意長的連續奇數數列 (Consecutive Odd Number Sequence) 中是否全為素數，因為這是不可能的。所以我們考慮的數列只是大部份為連續奇數而已。
數學家對這一猜想立場不一，有人以為這是正確的，亦有人反對。
多子素數
素數的組合可不只 2 個或 3 個，若是多個素數「連續」在一起，我們稱為素數多元組。這些密集的素數區域，我們也可稱之為「素數雲」 (Prime Constellation) 。可惜這長長的數鏈一則數據不多，二則數值不小，所以相關理論實不多，現只列出一些例子以供參考。
四子素數
四子素數 (Prime Quadruplets 或 Quadruplets) 是指若 p 為素數，p+0、2 、6 、8 均為素數。
最小的一組四子素數為 (5,7,11,13)。其實這亦是兩組相鄰的孿生素數 (Twin Primes) 。在 1000 以內，我們只有 (5,7,11,13) 和 (101,103,107,109) 兩組而已。在 10000 以內也不過多了 (1871,1873,1877,1879) 、(2081,2083,2087,2089)、(3251,3253,3257,3259) 、 (3461,3463,3467,3469) 和 (9431,9433,9437,9439)，合共 7 組而已，極為稀少。但我們不難發現式中的 p 全以個位為 1 。原因很簡單只有 p 的個位為 1 才可使其餘的數避開個位是 5 和其他偶數，才有可能有四個素數的組合。
五子素數
五子素數 (Prime Quintuplets 或 Quintuplets) 是指若 p 為素數，p+0、2 、6 、8、12 或 p+0、4、 6、 8、12 均為素數。
最小的一組五子素數為 (5,7,11,13,17)。其實這亦是兩組相鄰的孿生素數的前或後再連多一個素數。在 10000 以內，我們只有 (5,7,11,13,17) 、 (7,11,13,17,19) 、(97,101,103,107,109) 、(101,103,107,109,113) 、(1867,1871,1873,1877,1879) 和 (3457, 3461, 3463, 3467, 3469) 六組而已，極為稀少。
六子素數
六子素數 (Prime Sextuplets 或 Sextuplets) 是指若 p 為素數， p+0、4 、6 、10 、12、16 均為素數。
最小的一組素數六元組為 (7,11,13,17,19,23) 。由於不可能存在連續三組相鄰的孿生素數，故這六子素數實際是兩組相鄰的孿生素數的前和後再連多一個素數。在 100000 以內，我們只有 (7,11,13,17,19,23) 、 (97,101,103,107,109,113) 、(16057,16061,16063,16067,16069,16073) 、 (19417,19421,19423,19427,19429,19433) 和 (43777,43781,43783,43787,43789,43793) 六組而已，極為稀少。
我們不難理解其開始於一個個位是 7 的素數，而結於一個個位是 3 的素數的因由。
七子素數
七子素數 (Prime Septuplets 或 Septuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2 、6 、8 、12、 18、20 或 p+0、4、8、12、14、18、20 均為素數。
最小的一組七子素數為 (11,13,17,19,23,29,31)，而下一組已是 (5639,5641,5647,5651,5653,5657,5659)，再下一組是 (88799,88801,88807,88811,88813,88817,88819)：在 100000 以內僅此三組而已，可以說是極為稀少。
八子素數
八子素數 (Prime Octuplets 或 Octuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2 、6 、8 、12、 18、20、26 或 p+0、4、6、12、14、20、24、26或 p+0、6、8、14、18、20、24、26 均為素數。
最小的一組八子素數為 (11,13,17,19,23,29,31,37)，而下一組已是 (17,19,23,29,37,37,43) 、 (1277,1279,1283,1289,1291,1297,1301,1303) 和 (88793,88799,88801,88807,88811,88813,88817,88819) ：在 100000 以內僅此四組而已，可以說是極為稀少。
九子素數
九子素數 (Prime Nonuplets 或 Nonuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30 或 p+0、2、6、12、14、20、24、26、30 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30 或 p+0、4、10、12、18、22、24、28、30 均為素數。
在第一組別中，最小的一組九子素數為 p=11，而下一組已是 p=182403491，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組 九子素數為 p=17，接下來有 p=1277 和 p=113147，這一組的開首數個位定是 7；在第三組別中，最小的一組九子素數為 p=13，接下來有 p=113143，這一組的開首數個位定是 3；最後一組的最小的一組九子素數已是 p=88789 ，接下來有 p=855709，這一組的開首數個位定是 9，奇怪嗎？
十子素數
十子素數 (Prime Decuplets 或 Decuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32 或 p+0、2、6、12、14、20、24、26、30 、32 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十子素數為 p=11，但下一組已是 p=33081664151，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組 十子素數為 p=9853497737，這一組的開首數個位定是 7。
十一子素數
十一子素數 (Prime 11-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30 、34、36 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十一子素數為 p=11，但下一組已是 p=7908189600581，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十一子素數為 p=1418575498573，這一組的開首數個位定是 7。
十二子素數
十二子素數 (Prime 12-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42或 p+0、6、10、12、16、22、24、30、34 、36、40、42 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十二子素數為 p=11，但下一組已是 p=380284918609481，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十二子素數為 p=1418575498567，這一組的開首數個位定是 7。
十三子素數
十三子素數 (Prime 13-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42、48 或 p+0 、2、8、14、18、20、24、30、32、38、42、44、48 或 p+0、2、12、14、18、20、24、30、32 、38、42、44、48 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、36、46、48 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、40、46、48 或 p+0、6、12、16、18、22、28、30、36、40、42、46、48 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十三子素數為 p=11，但下一組已是 p=7933248530182091，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十三子素數為 p=7697168877290909，這一組的開首數個位定是 9；在第三組別中，最小的一組十三子素數為 p=10527733922579，這一組的開首數個位定是 9；在第四組別中，最小的一組十三子素數為 p=1707898733581273，這一組的開首數個位定是 3 ；在第五組別中，最小的一組十三子素數為 p=13，但下一組已是 p=4289907938811613，這一組的開首數個位定是 3；最後一組別中，最小的一組 十三子素數為 186460616596321，這一組的開首數個位定是 1。
十四子素數
十四子素數 (Prime 14-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42、48、50 或 p+0、2、8、14、18、20、24、30、32、38、42、44、48、50 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十四子素數為 p=11，但下一組已是 p=21817283854511261，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十四子素數為 p=79287805466244209，這一組的開首數個位定是 9。
十五子素數
十五子素數 (Prime 15-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42、48、50、56 或 p+0、2、6、12、14、20、24、26、30、36、42、44、50、54、56 或 p+0、2、6、12、14、20、26、30、32、36、42、44、50、54、56 或 p+0、6、8、14、20、24、26、30、32、36、38、44、48、50、54、56 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十五子素數為 p=11，但下一組已是 p=44360646117391789301，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十五子素數為 p=17，但下一組已是 p=17905159760365247387 ，這一組的開首數個位定是 7；在第三組別中，最小的一組 十五子素數為 p=1240068005144831867 ，這一組的開首數個位也一定是 7；在最後一組別中，最小的一組十五子素數為 p=348214184662549960583 ，這一組的開首數個位定也是 3。
十六子素數
十六子素數 (Prime 16-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、12、14、20、26、30、32、36、42、44、50、54、56、60 或 p+0 、4、6、10、16、18、24、28、30、32、36、42、44、50、54、56、60 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十六子素數為 p=47710850533373130107 ；在第二組別中，最小的一組十六子素數為 p=13。
十七子素數
十七子素數 (Prime 17-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、12、14、20、24、26、30、36、42、44、50、54、56、62、66 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、40、46、48、54、58、60、66 或 p+0、4、10、12、16、22、24、30、36、40、42、46、52、54、60、64、66 p+0、6、8、12、18、20、26、32、36、40、42、46、52、54、60、64、66 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十七子素數為 p=17，但下一組已是 p=37630850994954402655487 ，這一組的開首數個位定是 7；在第二組別中，最小的一組十七子素數為 p=13 ，但下一組已是 p=47624415490498763963983 ，這一組的開首數個位定是 3，其餘兩組均未發現相關素數組合。
十八子素數
十八子素數 (Prime 18-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、40、46、48、54、60、64、66、70 或 p+0、4、10、12、16、22、24、30、36、40、42、46、42、54、60、64、66、70 均為素數。
下表列寫三組素數十八元組：
十八子素數 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 2845372542509911868266807 + 0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1906230835046648293290043 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 |
總結
其實我們亦知不可能有完全連續的奇數全為素數，所以所謂多子素數實際上是在一最小的範圍 s 內出現最多 n個素數而使它們不會有數含有小於 n 的因子 (Divisor) ，正因為如此我們才有這樣不同的組別，而這些素數密集區域，我們稱之為素數雲。下表列出 s 和 n 的對應數值：
n |
s |
組別數目 |
2 |
2 |
1 |
3 |
6 |
2 |
4 |
8 |
1 |
5 |
12 |
2 |
6 |
16 |
1 |
7 |
20 |
2 |
8 |
26 |
3 |
9 |
30 |
4 |
10 |
32 |
2 |
11 |
36 |
2 |
12 |
42 |
2 |
13 |
48 |
6 |
14 |
50 |
2 |
15 |
56 |
4 |
16 |
60 |
2 |
17 |
66 |
4 |
18 |
70 |
2 |
19 |
76 |
4 |
20 |
80 |
2 |
其實數學家也為更大的多元數列計算 s 值和製定組別模式，可惜當 n 大於 18 時，除了在素數密集的細數區域找到多子素數而外便找不到更大的組合，可能多是搜索範圍未夠大，但要尋找更大的素數組合定要在計算速度和方法上有所突破，畢竟我們現在對這些長長的東西認識不多。
附錄：
多
子素數的組合模式 (英文)
比較小的多
子素數 (英文)
