香港數學界大日子 - 期待懷爾斯到訪

懷爾斯 (Andrew Wiles 1953- ) 是何許人，這一名字在現今數學界中絕不陌生。因為他為數學界解決了困擾我們近四百年的數學難題——費馬大定理 (Fermat’s Last Theorem)。費馬大定理時稱費馬最後定理。

這我們得由費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665)，這一位法國數學家說起。費馬此人在本網中已多次出現，其照片也被多次引用。我們說他是「業餘數學王子」是因為他本職是一位律師，閒來才玩玩數學。但我們可不輕視這「業餘」的數學家，他和當時的數學界關係密切，和笛卡兒 (Rene Descartes 1596-1650) 、梅森 (Marin Mersenne 1588-1648) 等人常有書信往還，討論數學發展和問題，更是概率論、解釋幾何的創始人之一。此後法國雄霸數學壇至十九世紀沒，費馬也有一定功勞。

費馬在研究古希臘數學家丟番圖 (Diophantus 約前284 – 約前200) 的著作《算術》時，把畢氏定理推廣：不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或將一個四次冪寫成兩個四冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高於二次的冪寫成同樣次冪的和。

用現在的數學說法來說，即當 n > 2 時，xⁿ + yⁿ = zⁿ 不存在正整數解。

這便是我們稱為世紀大難題的費馬大定理或費馬最後定理，稱為定理不過是因為我們對它的正確性不存任何懷疑，但在它未得證時，不過是一猜想而已。

但令人更苦惱的是費馬在頁邊書上：「我有一個對這命題絕妙無比的證明，但這裡空白太小了，寫不下。」一句「寫不下」使一絕妙無比的證明流產，然而這一絕妙無比的證明再沒有出世了，起碼費馬的後人整理他的遺物和筆記時找不到。於是這一可能很「顯淺」的難題出世了。有不少數學家：如歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 、熱爾曼 (Marie-Sophie Germain 1776-1831) 、狄利克雷 (Peter Dirichlet 1805-1859) 等也花了不少時間和心血在此問題上，不是徒然，但離問題得證相距仍很遠。

到了 1993年6月23日，一個任教美國普林斯頓大學 (Princeton University) 的英國人教授老遠走回出生地英國劍橋 (Cambridge) ，宣布世紀疑團得解。這人便是我們期待的懷爾斯。他總結前人經驗把費馬大定理連到谷山 – 志村猜想 (Taniyama – Shimura Conjecture) 中。所謂谷山—志村猜想，是指「每一條橢圓曲線都是模橢圓曲線。」從許多例子研究中，發現這測想在大量具體情況下是正確。而懷爾斯就是證明了在半穩定時的谷山—志村猜想是正確的，從而得證費馬大定理。谷山—志村猜想和費馬大定理真是風馬牛不相及的事情，尤如大海中兩個孤島互不相通，懷爾斯彷彿為此建了一道橋，把之相通，使費馬大定理的問題轉到谷山—志村猜想之上。可看出這兩個領域的關連，已殊不簡單，更是把它攻克。但這一次可不是衣錦榮歸，因及後有人發現論文當中的一個引子說不通，把全盤證明推翻了。數學便是這樣，在邏輯推論下，沒了一個小小引子也不成事。懷爾斯只好再回去反思，到了 1994年9月19日，距當初發表日子已一年多，問題終於可劃上句號，引子的錯誤修正了。費馬大定理終於名副其實地可被稱作定理了。

費馬大定理得證為懷爾斯本人帶來了不少榮譽，如沃爾夫獎 (1996) 、美國國家科學院數學獎 (1996) 、費爾茲特別獎 (1998) 及這次的邵逸夫獎 (2005) 。要知道向來沃爾夫獎是授予對數學有莫大貢獻的學者，領獎者多是古稀之人，懷爾斯領獎時還不過半百；反之，費爾茲獎是授予年輕數學家，故懷爾斯領的是特別獎：我們不知道日後有沒有出色的數學家受如此推崇，但我肯定的是他懷爾斯是前無古人的。

現在數學界可能轉向為費馬大定理找尋更簡便的證明，引證費馬留下那一段令人費解的話。到底他是知道一簡易證明；還是以為那證明很簡單，其實不然；還是根本不知呢？這會是一數學問題，還是歷史問題呢？說不定是心理學的問題。再者費馬大定理只是不定方程的一例，其他型式的不定方程也靜待我們尋解。

懷爾斯將於九月二日來港領獎，和在九月三日假香港中文大學邵逸夫堂開講座，講題為「解方程」(Solving Equations)。能一睹大師風釆，真是難得的機會。現已全院滿座，誰也估不到數學也會如此動人，幸而我早領了票，不然我會終生抱憾。順帶一題我的登記號碼是 15319 ，剛巧是一素數。我已證實了「素登記」不是必然的，我真幸運。

寫於二零零五年八月三十日家中。