這樣的學生誠不多

 

　

 

在潮州公會學校任教個多月，離任務完成之日還不過兩周，也有點捨不得。捨不得的自以學生為先，別以為第三組別的學生沒有學習的能力，也許你會在這地找到一些訝異。

 

先看一題數學問題：

若 (x+1) (x+2) (x+3) 展開為 x^3 + 6x^2 + 11x + 6，問因式分解 x^3 + 6x^2 + 11x + 6。

 

原題希望考核學生是否明白因式分解和展開的逆轉關係，答案顯然易見便是給定的 (x+1) (x+2) (x+3)。但我任教的一位中二女同學，似乎不太明白這個道理，試圖把這三次式分解。別說中二學生，這該是中四學生學罷餘式定理以後才可完成的工作。我說的是中二學生，連十字相乘法也未曉，手上只有抽因式和三道恆等式的中二學生。學生的作法如下：

 

x^3+6x^2+11x+6       =    x^3 + 6x^2 + 9x + 2x + 6

                     =    x(x^2 + 6x + 9) + 2(x + 3)

                     =    x (x + 3)^2 + 2(x + 3)

                     =    (x + 3) [x (x + 3) + 2]

                     =    (x + 3) (x^2 + 3x + 2)

                     =    (x + 3) (x^2 + 2x + 1 + x + 1)

                     =    (x + 3) [(x + 1)^2 + (x + 1)]

                     =    (x + 3) [(x + 1 + 1) (x + 1)]

                     =    (x + 3) (x + 2) (x + 1)

 

學生的計法，自顯示其對恆等式的認知是何等透澈，更顯示了她對數字的敏感，十分難得。我曾和該校數學科主任尹鋈雄老師閒談，老師慨嘆該校原有的學生不濟，收來的國內移民插班生表現遠勝原校生，中三的插班生又比中二的插班生為佳，更甚者中三下學期插進來的也比上學期的為上：總之，愈遲進校的日後的表現便是愈好。我想這是不是對香港教育的一個諷刺呢？我不知這位中二同學是否插進來的國內移民，但我相信她日後在數學科的表現也不會太差的。太差的也許是該校或許香港，這樣的學生誠不多。

 

面對這樣的題目，我不曾想到以上述方法作因式分解。這是不是表示了我的思想未及敏銳呢？我想學習歷程愈久，我們懂得的方法便愈多：中三我們看到了三次的恆等式，在中四我們看到了餘式定理：我們有了更多更快的方法，便不會停留在初中的想法。再者，當我們努力尋求通解之法之時，也忽略了一些特解的美妙。此外課本的題目也不會向學生展示方法的大能。也許我可在這學生的身上，看到一些基礎方法的能力有多大，只是我們未許想像而已。

 

書於二零一一年一月十五日，網誌。

　

十六日後記：我想利用三次恆等式 (x+a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3，我亦有一法：

     x^3+6x^2+11x+6  =    x^3 + 6x^2 + 12x + 8 – x – 2

                     =    (x + 2)^3 – (x + 2)

                     =    (x + 2) [(x + 2)^2 – 1]

                     =    (x + 2) [(x + 2 + 1) (x + 2 – 1)]

                        =    (x + 3) (x + 2) (x + 1)