新的費馬數
波蘭數學家謝爾品斯基 (Waclaw Sierpinski 1882 - 1969)
(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )
由第二類謝爾品斯基數談起
盧卡斯 - 歐拉定理 (Lucas - Euler Theorem) (詳見 《費馬數的素性判斷》一章) 使大家開始注意到型如 k*2m+1 的素數，不僅如此，這亦是尋找孿生素數 (Twin Primes) 的一大途徑。現存較大的孿生素數，如第一組突破十萬數位的孿生素數便是
65516468355*2333333± 1 即 k = 65516468355, m = 333333
這對素數達 100355 數位之多，是由 卡西亞 (Peter Kasier) 和 卡恩 (Keith Klahn) 兩人於二零零九年八月找到的。其實早在上世紀 70 年代，數學家巴利爾 (Robert Baillie) 等人已開始研究型如 k*2m+1 的素數，他們不但發現了新的費馬數因子 (Fermat Number Divisor)，還找到一些比較大的孿生素數：297*2546 ± 1 。由於這樣種種原因，研究型如 k*2m+1 的素數在數論 (Number Theory) 中很快便成了大紅的課題了。
首先是型如 k*2m+1 的素數會有多少個？
如果我們把 m 固定，則數列 {k*2m+1} 是公差為 2m 的算術數列 (Arithmetic Sequence)，根據狄利克雷定理 (Dirichlet's Theorem) ：任何算術數列只要其首項和公差互素 (Coprime 或 Relatively Prime)，則在上述數列中存有無限個素數。即在前述數列 {k*2m+1} 會有無限個素數。但若固定的是 k 又如何？是否會有無限個素數呢？
早在 1960 年，波蘭數學家謝爾品斯基 (Waclaw Sierpinski 1882 - 1969)，或譯作謝爾平斯基，作了另一方面的觀察，把 k 固定有如何？他作了一個一般性的證明：存在無窮多個正奇數 k 使得 k*2m+1 對所有自然數 m 都是合數。人們稱這樣的 k 為第二類謝爾品斯基數 (Sierpinski Number of the Second Kind)。關於第二類謝爾品斯基數的研究主要有兩個方向：
是否存在第二類謝爾品斯基數
k ，使 k*2m+1 與任意 s 個素數的乘積互素？
尋找最小的第二類謝爾品斯基數
k0。
向更小的出發
1962年美國數學家塞爾弗里奇 (John L. Selfridge 1953- ) 發現了兩個重要事實：
78557*2m+1
的數總可被 3、5、7、13、19、37 或 73 整除，即 78557 是第二類謝爾品斯基數。
當 k<383時，必存在
型如
k*2m+1 的素數，即在 k<383 中不會有謝爾品斯基數。
所以最小的第二類謝爾品斯基數必在 383 和 78557 之間。
下表以 78557 為例，列示 78557 * 2m + 1 中首十個合數的分解情況，當然這不足以證明整個數列全是合數。
m |
78557 * 2m + 1 |
分解式 |
| 1 | 157115 | 5 X 7 X 672 |
| 2 | 314229 | 3 X 104743 |
| 3 | 628457 | 73 X 8609 |
| 4 | 1256913 | 32 X 7 X 71 X 281 |
| 5 | 2513825 | 52 X 193 X 521 |
| 6 | 5027649 | 3 X 11 X 131 X 1163 |
| 7 | 10055297 | 7 X 1436471 |
| 8 | 20110593 | 3 X 541 X 12391 |
| 9 | 40221185 | 5 X 59 X 136343 |
| 10 | 80442369 | 32 X 72 X 41 X 1483 |
下表列出部份已知的第二類謝爾品斯基數和其可被整除之素數集：
第二類謝爾品斯基數 |
可被整除之素數集 |
78557 |
3、5、7、13、19、37、73 |
271129 |
3、5、7、13、17、241 |
271577 |
3、5、7、13、17、241 |
322523 |
3、5、7、13、37、73、109 |
327739 |
3、5、7、13、97、257 |
482719 |
3、5、7、13、17、241 |
575041 |
3、5、7、13、17、241 |
603713 |
3、5、7、13、17、241 |
903983 |
3、5、7、13、17、241 |
934909 |
3、5、7、13、19、73、109 |
965431 |
3、5、7、13、17、241 |
1259779 |
3、5、7、13、19、73、109 |
1290677 |
3、5、7、13、19、37、109 |
1518781 |
3、5、7、13、17、241 |
1624097 |
3、5、7、13、17、241 |
1639459 |
3、5、7、13、17、241 |
1777613 |
3、5、7、13、17、19、109、433 |
2131043 |
3、5、7、13、17、241 |
要知道判定一整數是否為第二類謝爾品斯基數，即判定一無窮數列不存在素數，說來也不是一件易事。現在仍有不少數學工作者為在 383 和 78557 之間找尋更少的第二類謝爾品斯基數而努力，如 10223、21181 、22699、24737、55459、67607等。到底他們希望在對應數列中當中找到素數還是找不到呢？找到的話，代表這整數不是第二類謝爾品斯基數，或是一輪失望；找不到的話，代表在這整數的找尋尚未完結。看來那還得一個一般性證明，才可替他們解困了。
黎塞爾數
此外在 1956年瑞典人黎塞爾 (Hans Riesel 1929- ) 提出了相類似而關於 k*2m - 1 的問題，即在 {k*2m - 1} 的數列中存在無窮多個正奇數 k 使之成為合數，即把第二類謝爾品斯基數中的「加號」換成「減號」，我們把這些數稱為黎塞爾數 (Riesel Number)。而黎塞爾本人亦證明了 k0 = 509203 以及 kr = k0 + 11184810r 其中 r = 1, 2, 3, . . 皆是黎塞爾數，但最小的黎塞爾數是什麼呢？而黎塞爾本人則認為這數應和第二類謝爾品斯基數有相同性質，或許我們可在尋找最小 第二類謝爾品斯基數的同時找到靈感。
布賴爾數
後來，有人希望找到一整數既有第二類謝爾品斯基數的特點，亦有黎塞爾數的特點，人們稱其為布賴爾數 (Brier Number)，這是由法國數學家布賴爾 (Eric Brier 1972- ) 最先提出。
布賴爾於 1998 年找到了一個例子：29364695660123543278115025405114452910889
這是一個長 41 數位的整數。
後來其他學者也找到一些比較「小」的例子：
布賴爾數 |
發現者 |
發現年份 |
| 143665583045350793098657 | 費拉斯達 (Michael Filaseta) / 芬治 (Carrie E. Finch) / 高錫克 (Mark Kozek) | 2007 |
| 21867705038000924683065281 | 韋蘇路斯基 (A. Wesolowski) | 2010 |
| 24155005016816795415535763 | 韋蘇路斯基 (A. Wesolowski) | 2010 |
| 30902663634162389353963691 | 韋蘇路斯基 (A. Wesolowski) | 2010 |
| 47867742232066880047611079 | 塞爾弗里奇 (Selfridge, John L.) / 高漢 (Fred Cohen) | 1975 |
| 785726893501171163981552137 | 塞爾弗里奇 (Selfridge, John L.) / 高漢 (Fred Cohen) | 1975 |
| 848414925767143803622636151 | 塞爾弗里奇 (Selfridge, John L.) / 高漢 (Fred Cohen) | 1975 |
878503122374924101526292469 |
加洛特 (Yves Gallot) |
2000 |
3872639446526560168555701047 |
加洛特 (Yves Gallot) |
2000 |
623506356601958507977841221247 |
加洛特 (Yves Gallot) |
2000 |
(OEIS A076335)
到底什麼是最小的布賴爾數呢？但在 2010年，韋蘇路斯基證明了在小於十個數位的區間中不存在布賴爾數，即那最小的布賴爾數也不會太小的。
補註：原來早在 1975 年，美國數學家塞爾弗里奇 (Selfridge, John L. 1953- ) 和高漢 (Fred Cohen) 的一篇論文已提及型如布賴爾數的素數，更以 47867742232066880047611079 等數為例子，只是未給預命名而已。
第一類謝爾品斯基數
很奇怪，為何一開始便談及第二類謝爾品斯基數，既有第二類，自有第一類的。不錯，但看來第一類謝爾品斯基數 (Sierpinski Number of the First Kind) 和費馬數的關不大明顯，唯一相同的可能是兩個數列中的素數個數都不多。
所謂第一類謝爾品斯基數即型如 nn + 1 的數，如 2、5、28、257、3126、46657、823544 等 (OEIS A014566)。我們不能看到數列是奇偶交錯的，這也不難解釋。
第一類謝爾品斯基數的數列中的素數僅知悉有 2、5、257三個，當然一些極大的數是未知素性 (Primality) 的。
謝爾品斯基證明若存一個素的第一類謝爾品斯基數 nn + 1，且 n 不少於 2 ，n 必以 2^(2k) 的型式出現，而是該第一類謝爾品斯基素數同為費馬素數 (Fermat Prime) Fm，其中 m = k + 2k。
如 5、257 兩數為例，對應的 n 分別為 2 和 4，即 k = 0 和 1；它們同為費馬素數 ，對應的 m 分別為 1 和 3。現在最少一個未知素性的例子為 k = 6，即 m = 70。
參考文獻及網址：
Ballinger, R. "The Riesel Problem: Definition and Status." http://www.prothsearch.net/rieselprob.html.
Ballinger, R. "The Sierpinski Problem: Definition and Status." http://www.prothsearch.net/sierp.html.
Gallot, Y. "A Search for Some Small Brier Numbers." http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/papers/smallbrier.html.
Rivera, C. "Problems & Puzzles: Problem 029 - Brier Numbers." http://www.primepuzzles.net/problems/prob_029.htm.
Weisstein, E. W. "Brier Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BrierNumber.html.
Weisstein, E. W. "Riesel Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RieselNumber.html.
Weisstein, E. W. "Sierpinski Number of the First Kind." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheFirstKind.html.
Weisstein, E. W. "Sierpinski Number of the Second Kind." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheSecondKind.html.
