真因子走圈子
長二十八的真因子圈
現在容我為大家介紹一個長 28 數的真因子圈 (Aliquot Cycle) ,即一數的真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) 等於第二數,第二數的真因子總和等於第三數,如此下去。這樣的數列亦可稱之為交際數 (Sociable Numbers) 。
補充一點,所謂真因子總和,即一數的所有因子 (Divisor) 除去自己的總和。
序號 |
自然數 |
素因子分解式 |
真因子個數 |
1 |
14316 |
(22)(3)(1193) |
11 |
2 |
19116 |
(22)(34)(59) |
29 |
3 |
31704 |
(23)(3)(1321) |
15 |
4 |
47616 |
(29)(3)(31) |
39 |
5 |
83328 |
(27)(3)(7)(31) |
63 |
6 |
177792 |
(27)(3)(463) |
31 |
7 |
295488 |
(26)(35)(19) |
83 |
8 |
629072 |
(24)(39317) |
9 |
9 |
589786 |
(2)(294893) |
3 |
10 |
294896 |
(24)(7)(2633) |
19 |
11 |
358336 |
(26)(11)(509) |
27 |
12 |
418904 |
(23)(52363) |
7 |
13 |
366556 |
(22)(91639) |
5 |
14 |
274924 |
(22)(13)(17)(311) |
23 |
15 |
275444 |
(22)(13)(5297) |
11 |
16 |
243760 |
(24)(5)(11)(277) |
39 |
17 |
376736 |
(25)(61)(193) |
23 |
18 |
381028 |
(22)(95257) |
5 |
19 |
285778 |
(2)(43)(3323) |
7 |
20 |
152990 |
(2)(5)(15299) |
7 |
21 |
122410 |
(2)(5)(12241) |
7 |
22 |
97946 |
(2)(48973) |
3 |
23 |
48976 |
(24)(3061) |
9 |
24 |
45946 |
(2)(22973) |
3 |
25 |
22976 |
(26)(359) |
13 |
26 |
22744 |
(23)(2843) |
7 |
27 |
19916 |
(22)(13)(383) |
11 |
28 |
17716 |
(22)(43)(103) |
11 |
29 |
14316 |
即第一個數 |
當中我們發現數列有一些上下的波動,找到有六個高峰,即 629072, 418904, 275444 和 381028。
六奇圈
我們不難從上例中發現他們全是偶數,大衛.摩爾斯 (David Moews) 和 保羅.摩爾斯 (Paul C. Moews) 找到了一組長度為 6 的奇真因子圈:
21548919483= |
(35)(72)(13)(17)(19)(431) |
23625285957= |
(35)(72)(13)(19)(29)(277) |
24825443643= |
(32)(72)(11)(13)(19)(20719) |
26762383557= |
(34)(72)(13)(19)(27299) |
25958284443= |
(32)(72)(13)(19)(167)(1427) |
23816997477= |
(32)(72)(13)(19)(218651) |
另外他們亦找到 3 個長度為 4 的數鏈,起始數值分別為 15837081520 、17616303220 和 21669628904。
圈來圈去有多少
嚴格來看,完全數 (Perfect Number) 和親和數 (Amiable Pair) 可視作長度分別為 1 和 2 的真因子圈。
但數學家找不到長度為 3 的真因子圈。長度為 4 的則有 142 組,起始數值 (最小的數值) 分別為 1264460, 2115324, 2784580, 4938136 等。 (OEIS A003416)
長度 5 的僅一組 12496,長度 6 的有五組:21548919483, 90632826380, 1771417411016, 3524434872392, 4773123705616。
長度 8 有兩組:1095447416, 1276254780。長度 9 的有一組 805984760 和一組長 28 的。
圈圈多問題
人們在親和數中面對的難題,即「奇偶性 (Parity) 不同」和「互素 (Coprime)」,在這些真因子圈中一樣存在。人們猜想對每一個長度而言,有無限多個數圈,但現在這仍未得證。
參考文獻及網址:
Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 38-50, 2005.
Guy, R. K. "Aliquot Sequences." §B6 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 60-62, 1994.
Weisstein, E. W. "Sociable Numbers." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SociableNumbers.html.