比「210」更好
一切由「210」開始
210 有一個頗特別的性質：
210 = 2 * 3 * 5 * 7 ，共有 16 個因子 (Divisor)，即 1、2、3、5、6、7、10、14、15、21、30、35、42、70、105 和 210。
我們發現對 210 而言，每組乘積等於 210 的因子組合的和均為素數 (Prime Number)
210 = 1 * 210 ，1 + 210 = 211；
210 = 2 * 105 ，2 + 105 = 107；
210 = 3 * 70 ，3 + 70 = 73；
210 = 5 * 42 ，5 + 42 = 47；
210 = 6 * 35 ，6 + 35 = 41；
210 = 7 * 30 ，7 + 30 = 37；
210 = 10 * 21 ，10 + 21 = 31；
210 = 14 * 15 ，14 + 15 = 29。
看罷此性質以後，熱愛數學的人便會問：「我們可否找到一個比 210 更好的數 n，使 n 的每一個因子 d 均使 d + n / d 均為素數。」
在「210」以前
何謂更好？更大嗎？更多組合？還是什麼呢？無論如何，數學家也不過想對此數多些了解。(恕我見淺，我未知如何稱有此特性質的數，或日後找到合宜名字，另作修訂。)
其實 210 不是最小的一個數有此等性質，一些比 210 小的數也有相同的性質，如 2、6、10、22、30、42、58、70、78、82 等，這些數值不算大，驗證的工作則留給各讀者了。當然這些數的因子和組合沒有 210 的八組那麼多。
我們不難發現以下三點：
符合此性質的數必為偶數 (Even
Number)，因為若該數是奇數 (Odd Number) 的話，那乘積等於自己的兩個因子必然同為奇數，其和自然是偶數了，也難成素數。
這些數除 2
以外不會是素數，這也顯然易見，不作冗解了。
這些數全是無平方因子的 (Squarefree)，若然
p2 可以整除 n，即必然有一個組 是 p*k 和 p，這樣該和必是 p 的倍數了，也難成素數。
而 2、6、30、210 便分別是有 1、2、3 和 4 組因子和成素數的數中最小的一員。我們不難發現這些數全是 p# (素連乘 Primorial，即不多於 p 的素數乘積，詳可參看另文《介紹兩個數學符號》)，但這是不是必然的呢？往後的又是不是依照 p# 的路去走呢？
在「210」以後
這個 p# 的假設到了 11# 用不上了，11# = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310，該數有 1、2、3、5、6 ... 、2310 合共 16 個因子。
| 因子組合 | 因子和 | 素性及分解 | ||
| 2310 | 2310 * 1 | 2310 + 1 | 2311 | 素數 |
| 1155 * 2 | 1155 + 2 | 1157 | 13 * 89 | |
| 770 * 3 | 770 + 3 | 773 | 素數 | |
| 462 * 5 | 462 + 5 | 467 | 素數 | |
| 385 * 6 | 385 + 6 | 391 | 17 * 23 | |
| 330 * 7 | 330 + 7 | 337 | 素數 | |
| 231 * 10 | 231 + 10 | 241 | 素數 | |
| 210 * 11 | 210 + 11 | 221 | 13 * 17 | |
| 165 * 14 | 165 + 14 | 179 | 素數 | |
| 154 * 15 | 154 + 15 | 169 | 132 | |
| 110 * 21 | 110 + 21 | 131 | 素數 | |
| 105 * 22 | 105 + 22 | 127 | 素數 | |
| 77 * 30 | 77 + 30 | 107 | 素數 | |
| 70 * 33 | 70 + 33 | 103 | 素數 | |
| 66 * 35 | 66 + 35 | 101 | 素數 | |
| 55 * 42 | 55 + 42 | 97 | 素數 |
我們找到有三組的和是合數 (Composite Number)，無奈。
其實自 11# 以後，再大一些的素連乘也不能使所有組合均為素數了。詳見下表：
| 素連乘 | 成素數的因子對數 | 總因子對數目 |
| 210 | 8 | 8 |
| 2310 | 11 | 16 |
| 30030 | 21 | 32 |
| 510510 | 41 | 64 |
| 9699690 | 71 | 128 |
| 223092870 | 118 | 256 |
| 6469693230 | 263 | 512 |
| 200560490130 | 449 | 1024 |
| 7420738134810 | 703 | 2048 |
| 304250263527210 | 1385 | 4096 |
| 13082761331670030 | 2423 | 8192 |
| 614889782588491410 | 5502 | 16384 |
| 32589158477190044730 | 8617 | 32768 |
| 1922760350154212639070 | 18250 | 65536 |
| 117288381359406970983270 | 29353 | 131072 |
| 7858321551080267055879090 | 61970 | 262144 |
| 557940830126698960967415390 | 103568 | 524288 |
| 40729680599249024150621323470 | 209309 | 1048576 |
| 3217644767340672907899084554130 | 404978 | 2097152 |
| 267064515689275851355624017992790 | 853279 | 4194304 |
| 23768741896345550770650537601358310 | 1609502 | 8388608 |
| 2305567963945518424753102147331756070 | 3008915 | 16777216 |
這表由數學家費迪．舒尼達 (Fred Schneider) 製作。
接下來最小的數使該數因子和為素數且有五個不同的素因子 (Distinct Prime Divisor) 比 2310 大許多了，是 186162 = 2 * 3 * 19 * 23 * 71。
若不要求自己 和 1 的那組因子和也是素數的話，66378 = 2 * 3 * 13 * 23 * 37 也是有五個不同的素因子，除 1 + 66378 = 66379 = 41 * 1619，其餘各組均成素數。
新加坡國立大學 (National University of Singapore) 數學系教授蔡國誠 (Kok Seng Chua) 把符合上述條件的數整理，得出下表：
| 素因子個數 | 數 | OEIS |
| 3 | 30 = 2*3*5, 42 = 2*3*7, 70 = 2*5*7, 78 = 2*3*13, 102 = 2*3*17, 130 = 2*5*13, 190=2*5*19, 310=2*5*31, 442=2*13*17, 658=2*7*47, 742=2*7*53, 970=2*5*97, ...
|
A128279 |
| 4 | 210=2*3*5*7, 330=2*3*5*11, 462=2*3*7*11, 1870=2*5*11*17, 4218=2*3*19*37, 5590=2*5*13*43, 6042=2*3*19*53, 7638=2*3*19*67, 13962=2*3*13*179, ...
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A128278 |
| 5 | 186162=2*3*19*23*71, 899970=2*3*5*131*229, 3047410=2*5*19*43*373, 603843982=2*7*41*313*3361, 3162524682=2*3*79*2003*3331, ...
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A128277 |
註：上表列的參考數列全只列寫奇素因子乘積 (Product of Odd Prime Divisors)，故須把答案乘 2 才得到表列的數。
那麼六個不同的素因子的呢？我只能說句該數是更大和更難找到，但現在尚末尋獲，但相信該數不少於 2 * 1010。
同餘的啟示
尋找和 210 有相同性質的數，我以為應從素因子分解式 (Prime Factorization) 入手，看看什麼型式的素因子可以滿足要求。
我們先看看兩個素因子的，即型如 2p 的數，我們可以尋找素數 p 使 p + 2 和 2p + 1 均為素數。p 可以是 2、3、5、11、29、41 等，對應的符合條件的數便是 4、6、10、22、58、82 等。我們不難發現較大的數的個位全是 2 或 8 ，對應的素數 p的個位是 1 或 9。其實這也不難理解，大部分的素數的個位只會是 1、3、7、9，而要使 p + 2 亦是素數的，個位是 3 的便不可以了；又得使 2p + 1成素數，個位是 7的亦不能：所以只剩下個位為 1 或 9 了。
讓我們再看看三個素因子的，即型如 2pq 的數，我們得尋找素數 p 和 q 使 2pq + 1、p + 2q 、 q + 2p 和 pq + 2 皆是素數。我們發現符合條件的數的個位全是 0、2 或 8，這亦不難理解的。若 p 或 q 其中一個數是 5 ，那個位便是 0 了。至於個位是 2 和 8 的原因大致和上一段所述的相類似。若 p 和 q 都不是 5 的話，pq 的個位只會是 1、3、7、9，但又得使 pq + 2 和 2pq + 1為素數，那 pq 的個位只可以是 1 或 9 了。於是我們發現若 p 和 q 都不是 5 的話，p 和 q 的個位只可以是下列的八種可能性：(1, 1)、(1, 9)、(3, 3)、(3, 7)、(7, 3)、(7, 7) 、(9, 1) 或 (9, 9)。
我們又從另一個同餘 (Congruence) 的角度來看，我們知道除 2 、3 以外，所有素數均可分為 6k+1 和 6k-1 兩類型。若符合條件的數不含素因子 3，則該數的素因子中只可有奇個數的 6k-1型素數，原因是這樣的：
若某數有偶數個 6k-1型素數，即存在一個分拆方式使 2a + b 中 a 和 b 同含有偶個數的 6k-1型素數。
那 2a + b = 2(-1)2m + (-1)2n = 2 + 1 = 3 (mod 6)，即這樣計算出來的和會是 3 的倍數，不能符合條件。
緃然規限了有 6k-1型素數的個數，但仍不足以找尋符合條件的數，只是縮小找尋範圍而已。
參考文獻及網址：
Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 549 - Better than 210." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_549.htm.
