a b c 猜想
這個猜想 (Conjecture) 的名字頗特別,但卻是數論中一道很重要卻未被證實的猜想。其實它也有一個學名的:奧斯達利 - 馬撒猜想 (Oesterle - Masser Conjecture)。因其最早由法國數學家奧斯達利 (Joseph Oesterle 1954 - ) 和瑞士數學家馬撒 (David William Masser 1948 - ) 兩人一同於 1985 年提出的。
我們先定義根函數 (Radical) rad(X) 為 X 的不同素因子乘積 (Product of Distinct Prime Factors),例:
rad (10) = rad (2*5) = 2*5 = 10
rad (18) = rad (2*32) = 2*3 = 6
rad (150) = rad (2*3*52) = 2*3*5 = 30
我們留意到,若 X 為一無平方因子數 (Squarefree Number),則 rad(X) = X。
abc 猜想 (abc Conjecture) 指出對任何三元數組 (Triplet) a, b, c 滿足 (a, b, c) = 1 及 a + b = c,
則只會存在有限組 (a, b, c) 使 c > rad(abc)。
即存有任意的 e 使下式對於所有數組均成立。
我們可以看看一些例子吧!
取 a = 3, b = 125, c = a + b = 128
rad (a) = 3, rad (b) = 5, rad (c) = 2, rad (abc) = 3*5*2 = 30
c > rad (abc)
取 a = 36, b = 85, c = a + b = 121
rad (a) = 6, rad (b) = 85, rad (c) = 11, rad (abc) = 6*85*11 = 5610
c < rad (abc)
有的人從找尋那些使 c > rad(abc) 的數組出發,如組織 「ABC@Home」
製作程式、統籌進度為找尋相關數組出力。其網址為 http://abcathome.com/ 。
若然這個猜想得證的話,我們便會更輕易的證明費馬大定理 (Fermat's Last Theorem),現在英國數學家懷爾斯 (Andrew Wiles 1953 - ) 的證明實際上是異常艱深的。
參考文獻及網址:
Weisstein, E. W. "a b c Conjecture." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html .