歐爾調和數
先看一例,6 是完全數 (Perfect Number),其因子包括 1, 2, 3, 6。
而因子的調和平均數 (Harmonic Mean),即 4 / (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6) = 4 / 2 = 2,為一整數,此數便是歐爾調和數 (Ore Harmonic Number) 或調和因子數 (Harmonic Divisor Number)。此數最先有挪威數學家歐爾 (Oystein Ore 1899 - 1968) 於 1948年定義,故因而得名。
其實所有完全數的倒數和均為 2,已知的全是偶數,故所有完全數也是歐爾調和數。
但不只是完全數符合歐爾調和數,當中也有非完全數的例子,如 140:
12 的因子包括 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140。
而因子的調和平均數,即 12 / (1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/10 + 1/14 + 1/20 + 1/28 + 1/35 + 1/70 + 1/140) = 12 / (12/5) = 5,為一整數。
故 140 亦屬歐爾調和數一例。
歐爾調和數的例子還有 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 等 (OEIS A001599)
下表列出一些為某特定調和平均數的最小歐爾調和數:
調和平均數 | 最小歐爾調和數 |
1 | 1 |
2 | 6 |
3 | 28 |
5 | 140 |
6 | 270 |
7 | 8128 |
8 | 672 |
9 | 1638 |
10 | 6200 |
11 | 2970 |
13 | 105664 |
14 | 18620 |
15 | 8190 |
17 | 27846 |
19 | 117800 |
21 | 55860 |
24 | 30240 |
25 | 173600 |
26 | 242060 |
27 | 167400 |
29 | 237510 |
從中,我們看到,原來大體而言最小歐爾調和數的數值正隨調和平均數增加而增加,但細看又不是如此規律。這正如很多數論問題一樣,難以估量。
參考文獻及網址:
Wikipedia. "Harmonic Divisor Number" From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_divisor_number.