再談完全數

在《豐數、虧數和完全數》一章中，我們已對完全數 (Perfect Number) 有一定認識。原來完全數迎有一些特質，我們一一細看。

　

完全數，除第一個 6 以外，用 9去除其他的完全數的餘數皆是 1。

　

所有完全數皆可寫成一些連續的 2 的方冪的和，從 2 的 (p-1) 次方至 2 的 (2p-2) 次方，如：

6 = 2¹+2²

28 = 2²+2³+2⁴

496 = 2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸

8196 = 2⁶+2⁷+2⁸+......+2¹²

原因從求出完全數的公式可知一二。

N = 2^p-1(2^p-1) = 2^p-1(2¹+2²+...+2^p-1) = 2^p-1+2^p-2+...+2^2p-2

　

這更奇妙了。除第一完全數 6 以外，其他所有完全數皆可表示為連續奇數的立方和 (Sum of Cubes)：

28 = 1³+3³

496 = 1³+3³+5³+7³

8196 = 1³+3³+5³+7³+......+15³

33550336 = 1³+3³+5³+7³+......+127³

這第五個完全數是 64 個奇數的立方和，你又猜一猜現存最大的完全數 (不過是第 47 個而已) 要是多少項的立方和呢？

　

所有完全數皆是三角形數 (Triangular Number，即 1 + 2 + 3 + ... + n)。

任可完全數的未位皆是 6 或 8 ，更有人認為所有以 8 結尾的完全數最未兩位是 28 。

　

上述的特性是巧合？是必然？信不信由你。