倒數和與素數積
我們知道全體整數的倒數形成的級數是發散的,但全體整數的倒數的平方和又如何?立方和又怎麼樣?
德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866) 對此作過深入研究,並建立了黎曼 z 函數 (Riemann z Function):
上式的左方正是全體整數的倒數 s 次方的總和,而右方則是包含全體素數的倒數的乘積公式。兩式相等嗎?這則全賴另一數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 的發現了。
我們可以用這樣的方式解式兩式相等的:
z (s) = 1 / 1s + 1 / 2s + 1 / 3s + 1 / 4s + 1 / 5s + ...
1 / 2s * z (s) = 1 / 2s + 1 / 4s + 1 / 6s + 1 / 8s + 1 / 10s + ...
兩式相減,便把所有 2 的倍數的項減掉:
(1 - 1 / 2s) * z (s) = 1 / 1s + 1 / 3s + 1 / 5s + 1 / 7s + 1 / 9s + ...
再以 3 作同樣的事,又把餘下的所有 3 的倍數的項減掉:
(1 - 1 / 3s) * (1 - 1 / 2s) * z (s) = 1 / 1s + 1 / 5s + 1 / 7s + 1 / 11s + 1 / 13s + ...
再以 5、7、11... 每個素數作相同的事,這樣便把所有素數和其倍數的項減掉:
(1 - 1 / 2s) * (1 - 1 / 3s) * (1 - 1 / 5s) * ... * z (s) = 1 / 1s = 1
這原理和埃拉托斯特尼篩法 (Sieve of Eratosthenes)的原理相若,我們再把那素數乘積移往右方,便得那乘積公式。
黎曼 z 函數的一些取值也相當特別,如:
z (2) = p2 / 6, z (4) = p4 / 90,z (6) = p6 / 945,z (8) = p8 / 9450,z (10) = p10 / 93555 ...
參考文獻及網址:
Weisstein, E. W. "Riemann Zeta Function." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html.