我有我算式 - 傅利曼數
尋回自己的算式
看看下列一些較大的例子:
整數 | 算式 |
18432 | 18432 = 18 * 43+2 |
24390 | 24390 = 293 + 40 |
35721 | 35721 = 35 * 7 * 21 |
46664 | 46664 = 66 + 4 * (6 - 4) |
52488 | 52488 = (5 + 2 - 4)8 + 8 |
67234 | 67234 = 6 + 72+3 + 4 |
78975 | 78975 = 9 * 8775 |
85358 | 85358 = (5 + 8) * (38 + 5) |
99225 | 99225 = ((9 - 2) * 9 * 5)2 |
想一想,一個整數的各數字竟可成就一道算式,而其結果又是自己,這是巧合嗎?
這當然不是任何一個整數也可以,若我們規定了算式中只能以加、減、乘、除、括號、乘方等運算,這些可以找回自己的數便是傅利曼數 (Friedman Number)。補充一點,對於某些有了找回自己的算式的傅利曼數,那算式可不是唯一的。
此等數包括,下表列出首一百個傅利曼數。紅字為好傅利曼數 (Nice Friedman Number),即算式的順序和數字的順序相同。但算式呢?網友先自行猜試,若真的要看便得花點心思了。
25 | 52 | 121 | 112 | 125 | 51+2 | 126 | 6*21 | 127 | -1+27 | 128 | 28-1 | 153 | 3*51 | 216 | 62+1 | 289 | (8+9)2 | 343 | (3+4)3 |
347 | 4+73 | 625 | 56-2 | 688 | 8*86 | 736 | 7+36 | 1022 | 210-2 | 1024 | (4-2)10 | 1206 | 6*201 | 1255 | 5*251 | 1260 | 6*210 | 1285 | (1+28)*5 |
1296 | 6(9-1)/2 | 1395 | 15*93 | 1435 | 35*41 | 1503 | 3*501 | 1530 | 3*510 | 1792 | 7*29-1 | 1827 | 21*87 | 2048 | 84/2-0 | 2187 | (2+18)7 | 2349 | 29*34 |
2500 | 502+0 | 2501 | 502+1 | 2502 | 502+2 | 2503 | 502+3 | 2504 | 502+4 | 2505 | 502+5 | 2506 | 502+6 | 2507 | 502+7 | 2508 | 502+8 | 2509 | 502+9 |
2592 | 25*92 | 2737 | (2*7)3-7 | 2916 | (1*6*9)2 | 3125 | (3+1*2)5 | 3159 | 9*351 | 3281 | (38+1)/2 | 3375 | (3+5+7)3 | 3378 | (7+8)3+3 | 3685 | (36+8)*5 | 3784 | 8*473 |
3864 | 3*(-8+64) | 3972 | 3+(9*7)2 | 4088 | 84-8+0 | 4096 | (4+0*9)6 | 4106 | 46+10 | 4167 | 46+71 | 4536 | 56*34 | 4624 | (64+4)2 | 4628 | 682+4 | 5120 | 5*210 |
5776 | 767-5 | 5832 | (2*5+8)3 | 6144 | 6*44+1 | 6145 | 6*45+1 | 6455 | (64-5)*5 | 6880 | 8*860 | 7928 | 892-7 | 8092 | 902-8 | 8192 | 8*29+1 | 9025 | 952+0 |
9216 | 1*962 | 9261 | 219-6 | 10192 | 1012-9 | 10201 | 1012-0 | 10251 | 51*201 | 10255 | 5*2051 | 10368 | 8*60+1+3 | 10426 | 26*401 | 10521 | 21*501 | 10525 | 5*2105 |
10575 | 15*705 | 10824 | 1042+8 | 10935 | 15*93+0 | 11025 | (110-5)2 | 11163 | 3*611+1 | 11259 | 9*1251 | 11264 | 11*26+4 | 11439 | 9*31*41 | 11663 | 16*36-1 | 11664 | 1*1*66/4 |
11665 | 66/(5-1)+1 | 11844 | 84*141 | 11848 | 8*1481 | 11943 | 9*(113-4) | 12006 | 6*2001 | 12060 | 6*2010 | 12091 | 1102-9 | 12100 | 1102+0 | 12101 | 1102+1 | 12102 | 1102+2 |
(OEIS A036057)
當然找尋相關算式可不容易,數學家傅利曼 (Erich Friedman) 等以程式找到很多的例子,詳可參看 http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html。
更多有趣的例子
傅利曼和另外兩位數學家米赫.雷德 (Mike Reid) 和 方坦拉治 (Philippe Fondanaiche) 還 找到下列兩個有趣的例子:
123456789 | ((86 + 2 * 7)5 - 91) / 34 | 987654321 | (8 * (97 + 6/2)5 + 1) / 34 |
上面兩個例子是順序的一至九和逆序的九至一,這些數包含一至九,我們稱之為缺零泛位數 (Zeroless Pandigital Number)。若連同零,十個數字也齊全的,我們便稱作泛位數 (Pandigital Number) ,有關此數的介紹,詳可參看《集齊所有數字的數 - 泛位數》一文。
當然泛位數的例子不只上二,還更多列於傅利曼的網址,本文選擇其中一些:
152843769 | (12368 - 5)4 + 7 - 9 | 214365978 | (6 + 5)8 + 7124 - 3 * 9 | 387412965 | 916 - 8 + 1 - 7524 |
536874912 | (1 + 7 - 6)29 + 4 * 8 * 53 | 672935481 | 259416 + 7 - 8 - 3 | 714653289 | (26738 - 5)(9 - 1)/4 |
1026753849 | (30249 - 6)7 - 5 * 18 | 2913408576 | 539762 + 0 * 148 | 3528716409 | 594032 * 1678 |
4832057169 | 695132 + 0 * 478 | 5803697124 | 761825 - 3 + 0 * 49 | 6457890321 | 803612 * (5 - 4)79 |
7408561329 | 860732 * 1459 | 8127563409 | 901532 * (7 - 6)48 | 9351276804 | 967023 - 1 * (5 - 4)8 |
大家不難發現,那些十位的泛位數的創作原則大致相同,即某數的平方再配以 1 或 0 把「多餘」的數字用掉。這些數全由數學家古夫斯 (Bruno Curfs) 找到的。當然泛位數的例子不只上面的幾個,還有更多未被發現的靜候大家的努力。
當然我們也可把傅利曼數的概念推廣到其他進制上,傅利曼的網址中還列舉了一些二進制、三進制至十六進制的例子,這兒不作冗述了。
參考文獻及網址:
Friedman, Erich. "Problem of the Month (August 2000)." From Math Magic. http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html.
Wikipedia. "Friedman Number." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Friedman_number.