自戀的水仙花
自戀數
有些數，我們把各數字 (Digit) 的乘冪 (Power) 求和，而冪數則是該數的位數。若結果剛巧和原來的數相同，我們便稱這些數為「自戀數」或「水仙花數」(Narcissistic Number) ，亦有人稱此數為「岩士唐數」(Armstrong Number)。
看看一例子吧！
370：33 + 73 + 03 = 370。
92727：95 + 25 + 75 + 25 + 75 = 92727。
此數最先由數學家麥達奇 (Joseph S. Madachy) 在 1966 年提出，他稱這些數為超完全數字不變數 (Pluperfect Digital Invariant 或 PPDI) 或簡單稱為自戀數或水仙花數或岩士唐數。
為何會把水仙花和自戀連上關係呢？那得說說故事了，依據希臘傳說，納西斯 (Narcissus) 是一個美男子，常常在池邊流連，欣賞自己的倒影。山林女神愛歌 (Echo) 愛上了他，苦苦追求，但納西斯卻對愛歌不瞅不睬。女神失戀以後，終日鬱鬱不歡，遠離同伴。愛神維納斯 (Venus) 知道此事以後，她一方面為愛歌的不知自愛而惱恨，罰她不能說話，只能重覆她所聽到的最後的聲音。另一方面，她也決定對納西斯作出懲治。維納斯把納西斯的影子變成絕色美女，納西斯因此愛得發狂，可算是世上最早的自戀狂了。他日夜守在水旁，不思飲食，更不睡覺，終於憔悴而死。別的神仙也對納西斯的死感到可惜，於是把他變成水仙花，讓他美下去。是故水仙花的英文名也是 Narcissus。
自戀數的數學
當然，我們知道隨著次方增大，數字乘方總和增長速度一定遠超過數字本身，故有不等式：
從不等式可以計出 n 最大為 60。而其實當 n 很大時，9 的出現次數也急速增加，減少了自戀數出現的可能。
而中國長沙國防科技大學 (National University of Defense Technology) 計算機學院的劉江寧 (Jiangning Liu) 採用不定方程的解法，證明 n > 39 後無解，從而找出所有自戀數。
下表列出所有合共 88 個自戀數：
n 次數 |
n-自戀數 |
n 次數 |
n-自戀數 |
1 |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
2 |
不存在 |
3 |
153, 370, 371, 407 |
4 |
1634, 8208, 9474 |
5 |
54748, 92727, 93084 |
6 |
548834 |
7 |
1741725, 4210818, 9800817, 9926315 |
8 |
24678050, 24678051, 88593477 |
9 |
146511208, 472335975, 534494836, 912985153 |
10 |
4679307774 |
11 |
32164049650, 32164049651, 40028394225,
42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914 |
12 |
不存在 |
13 |
不存在 |
14 |
28116440335967 |
15 |
不存在 |
16 |
4338281769391370, 4338281769391371 |
17 |
21897142587612075, 35641594208964132,
35875699062250035 |
18 |
不存在 |
19 |
1517841543307505039, 3289582984443187032,
4498128791164624869, 4929273885928088826 |
20 |
63105425988599693916 |
21 |
128468643043731391252, 499177399146038697307 |
22 |
不存在 |
23 |
21887696841122916288858, 27879694893054074471405,
27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943 |
24 |
174088005938065293023722, 188451485447897896036875,
239313664430041569350093 |
25 |
1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378,
3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938 |
26 |
不存在 |
27 |
121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376,
128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765 |
28 |
不存在 |
29 |
14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740,
19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295 |
30 |
不存在 |
31 |
1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639,
2309092682616190307509695338915 |
32 |
17333509997782249308725103962772 |
33 |
186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991 |
34 |
1122763285329372541592822900204593 |
35 |
12679937780272278566303885594196922 |
36 |
不存在 |
37 |
1219167219625434121569735803609966019 |
38 |
12815792078366059955099770545296129367 |
39 |
115132219018763992565095597973971522400,
115132219018763992565095597973971522401 |
n>39 |
不存在 |
戀上我的次方
自戀數是冪數是該數本身的位數多少，若把冪數改為該數位上的數字，那麼便有完全數冪不變數 (Perfect Digit-to-digit Invariant 或 PDDI)，亦有人稱之為閔希豪森數 (Munchausen Number)。
如 3435 = 33 + 44 + 33 + 55 = 27 + 256 + 27 + 3125。
又如 438579088 = 44 + 33 + 88 + 55 + 77 + 99 + 00 + 88 + 88 = 256 + 27 + 16777216 + 3125 + 823543 + 387420489 + 0 + 16777216 + 16777216。
(留意，我們在這裡定義 00 = 0。)
當然 0 和 1 也是完全數冪不變數的一例了。除了這裡說過的四個以外，十進制的世界中便再沒有新的完全數冪不變數了。
參考文獻及網址：
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