集齊所有數字的數 - 泛位數

集齊所有數字的數

987654321 - 123456789 = 864197532

9876543210 - 0123456789 = 9753086421

看看這兩道算式，減數、被減數和差也是集齊 1 - 9 九個數字；有些還包括零，十個數字也齊全。這樣的數字，我們稱作泛位數 (Pandigital Number) 。有些只欠缺零一數字的，我們稱之為缺零泛位數 (Zeroless Pandigital Number)。純位數 (Repdigit) 是指所有數位上均只有一個數字的數，詳可參看《只有一個數字的 數 - 純元數》一文。但泛位數或缺零泛位數則完全相反，它是集齊所有數字的數，然而我們並沒有規定各數字出現的次數或次序，如 1234567890 或 123456789 當然是泛位數，123412345678900 或 864197532 等亦然。

順道一言，國內一些學者，稱此數為「十全數」，但本人以為當中的「十」只在十進制內合用，當我往後談到在非十進制下具有相同性質的數時，名稱未必合宜，故本網不用此譯法。

由於若每個數字均只出現一次的話，我們稱該數為規限泛位數 (Restricted Pandigital Number) ，如 1234567890 或 9876543210 等；規限缺零泛位數 (Restricted Zeroless Pandigital Number) ，如 123456789 或 987654321 等。這些規限的泛位數的數字總和 (Sum of Digits) 必為 45，即該數為 9 的倍數，即必然是合數。所以泛位素數 (Pandigital Prime) 必在 11 位或以上，而缺零泛位素數 (Zeroless Pandigital Prime) 也定達十位之多，可以說是個個的值也不可少看耶。

　

最小的一個泛位數為 1023456789，而缺零泛位數則是 123456789。

最小的一個泛位素數為 10123457689 (OEIS A050288) ，而缺零泛位素數則是 1123465789 (OEIS A050290)。

　

首 32423 個連續素數之和，5897230146 為一泛位數。這是由康納卡 (G. L. Honaker, Jr.) 找到的。

　

其實 2 也是泛位數，怎麼會啊？此得一個數字。在二進制 (Binary Numeral System) 的表示下該數寫成 102 ，二進制中所有數字也出現過了，那不是泛位數嗎？只不過是二進制下的泛位數而已。

下表列出一些進制下最小的泛位數：

進制 該進制下的最小的泛位數 十進制下的數值
2 102 2
3 1023 11
4 10234 75
5 102345 694
6 1023456 8345
7 10234567 123717
8 102345678 2177399
9 1023456789 54447380
10 1023456789 1023456789

　

泛位數之王

亦有人稱泛位數為「十全數」，但本人以為這譯名有點不妥當之處。首先，我們知道所有涉及數字 (Digit) 的問題也得和進制 (Numeral System) 相關。在十進制 (Decimal Numeral System) 下，我們有十個數字；但別的進制又如何呢？難道同一數種在十六進制 (Hexadecimal) 下便得改叫「十六全數」嗎？

現在便讓我們看看這數是不是只有「十全」了。若我們考慮一數，在小於 n 的所有進制內均成泛位數，那數最小又會有多大呢？

答案是 2、 11、 75、 978、 8350、 160773、 2217404、 45623244、 ... (OEIS A055085)

如 11 又可寫成  10112 、1023， 那該數便分別在二、三進制也是泛位數了。又如 75 = 10010112、 22103、 10234，該數便分別在二、三、四進制也是 泛位數了。

我們知道該數列的第十一項為 1587937206284，即在二至十二進制也是泛位數。該數為 217904B5A63812、562493178A9011。我坦白的告訴大家要驗證此數是不是在別的進制也是 泛位數實不容易，但它是十進制的泛位數，我只看一眼便可以肯定。

　

泛位數幻方

說到幻方 (Magic Square) ，即把一系列不同的數排放在一 n * n 的矩陣內使得每一直行、橫行連同斜對角線 的 n 個數字總和相等。但這回展示的一個 4 * 4的幻方真的非同凡響了，看看再說吧！

1037956284 1036947285 1027856394 1026847395
1026857394 1027846395 1036957284 1037946285
1036847295 1037856294 1026947385 1027956384
1027946385 1026957384 1037846295 1036857294

這個幻方由阿根庭人古爾真 (Rodolfo Marcelo Kurchan) 找到的，當中十六個數全是泛位數。幻和 (Magic Sum) 即直、橫連同斜對角線各行的和是 4129607358 也是一個泛位數。古爾真聲稱這個幻方的幻和是最小的。故我們稱這個有泛位數幻和 (Pandigital Magic Sum) 的泛位數幻方 (Pandigital Magic Square) 為古爾真方 (Kurchan Square)，以示紀念。

　

對於泛位數，你還想到什麼？把十個數字填在十個空格中，如果我們要求這些空格分列成分子和分母，這便是泛位分數 (Pandigital Fraction)，我以另文《集齊所有數字的分數 - 泛位分數》。

　

韌性數

若一個泛位數，其 1倍、2倍以致 N 倍也是泛位數，我們便稱之為韌性數 (Persistent Number) 或 N-韌性數 (N-Persistent Number)。

N 例子 OEIS
1-韌性數 1023456798、1023456897、1023456978、1023456987、... A051264
2-韌性數 1023456789、1023456879、1023457689、1023457869、... A051018
3-韌性數 1052674893、1052687493、1052746893、1052748693、... A051019
4-韌性數 1053274689、1089467253、1253094867、1267085493、... A051020

　

當中最長的持續數為 18-韌性數，526315789473684210。

　

參考文獻及網址：

Pickover, C. A. "The Kurchan Square." From The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. New Jersey : Princeton University Press , 2002 , pp 164

Weisstein, E. W. "Pandigital Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PandigitalNumber.html.

Weisstein, E. W. "Persistent Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PersistentNumber.html.

　

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