累進可除數

累進可除數 (Polydivisible Number) 指某整數 abcdef... 符合下列要求：

其自左起所截的個位數 a 為 1 的倍數；十位數 ab 為 2 的倍數；百位數 abc 為 3 的倍數；如此類推。

我們可以看看一個例子： 2016，從這數所截的個位數 2 是 1 的倍數；十位數 20 是 2 的倍數；百位數 201 是 3 的倍數；原數 2016 是 4 的倍數。故此數便是一個四位的累進可除數了。

本網另文《由一個十位數說起》中談過符合這樣要求的泛位數 (Pandigital Number)。本文旨在把要求放寬，不限數字使用次數，全面地看看「累進可除數」的真面目。

　

當然大家不難體會到，個位數全是累進可除數，除 0 以外共有 9 個數。十位數的例子更多，如 12、24、38 等共有 45 個。三位數呢？四位數呢？

大家或會以為此數會隨要求增加而減少，但這不是全對，也非全錯。原因是每增加一個數位至 n 個數位，理論上便應有 10/n 倍原來的累進可除數出現。只要 n < 10，累進可除數的數目便會增加。但當 n > 10 以後，累進可除數的數目便會隨位數增加而減少了，最終減至 0 。網友可看看下表，便知一二：

位數 n	累進可除數個數	位數 n	累進可除數個數	位數 n	累進可除數個數
1	9	10	2492	19	90
2	45	11	2225	20	44
3	150	12	2041	21	18
4	375	13	1575	22	12
5	750	14	1132	23	6
6	1200	15	770	24	3
7	1713	16	571	25	1
8	2227	17	335	26	0
9	2492	18	180

當中共有 20456 個累進可除數，其中最小的自然是 1 ，最大的便達二十五數位之多，3608528850368400786036725 是也。

　

研究累進可除數的方向有三：

    第一，研究累進可除數個數與數位間的關係式。

    第二，為累進可除數增加限制，研究當中不同類別的數種。

        如前文《由一個十位數說起》中談過的泛位累進可除數 (Pandigital Polydivisible Number)，

        又如我們可要求所有數字全為偶數，當中最大者為 48000688208466084040。

        再如我們可找尋符合要求的迴文數，即迴文累進可除數 (Palindromic Polydivisible Number)，當中最大者為 30000600003。

        當有還有其他不同的數種。

    第三，看看在非十進制中的累進可除數。

　

新問題，新方向，這才是數學的活力的泉源。

　

參考文獻及網址：

Wikipedia. "Polydivisible Number" From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Polydivisible_number.