反轉的素數

美國數學家馬丁．加德納 (Martin Gardner, 1914 - 2010)

可逆素數

可逆素數 (Reversible Prime) 又稱作反素數 (Emirp) 。但這又是什麼呢？它的英文名字頗令人費解。字典找不列解釋，也許有人以為是別國文字，但我看不然。

原來 Emirp 一字是把英文 Prime (素數) 反過來 (Reverse) 串而成。若一素數的「反過來」也是素數，這便是可逆素數或反素數了。這個別開生面的新字正是由美國數學家馬丁．加德納 (Martin Gardner, 1914- 2010) 所創製的。

何謂「反過來」，如 13 => 31 、 149 => 941 等便是，我以為用數學的定義倒不如寫多一兩個例子來看或更易明白。當然嚴格來說，是一個函數，設素數 p = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ...... + a₀ ，其中 a_i 為 0 - 9 之間的整數，

而 f(p) = a₀10ⁿ + a₁10^n-1 + ...... + a_n

若 f(p) 也是素數，p 便是反素數了。其實 f(p) 也會是一反素數的了。

自然地，101、11 等迴文素數 (Palindromic Prime, Palprime) 也必然可以反轉，反轉後也是素數。但我們把它們剔除於反素數定義以外，以免重覆之嫌。由此反素數必然是一雙一對的出現，如 13 和 31 、 149 和 941 等。

那麼我們哪些素數是反素數呢？

如：13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, ... (OEIS A006567)

反素數之和

素數與反素數之和 (Sum of Prime and Emirp) 有時也會有些特別。

一些素數和反素數的和是某數的平方，如 836² = 303593 + 395303 = 333563 + 365333 = 342653 + 356243 = 344453 + 354443 = 348053 + 350843。

又如 123² =744377 + 773447 = 754367 + 763457 = 755267 + 762557。這兩組都是由日本電腦工程師 Seiji Tomita 找到的。

一些素數和反素數的和是正是另一對素數與反素數乘積 (Product of Prime and Emirp) 的兩倍：1006441 + 1446001 = 2 * 1021 * 1201。

這是由瑞典退休程式員亞林 (Torbjorn Alm) 找到的。

連續出現的反素數

連續可逆素數 (Consecutive Reversible Primes) 或連續反素數 (Consecutive Emirps) 是指連續出現的素數且為反素數，如 13, 17 反過來的 31 和 71 也是素數，這便一對長度為 2 的連續反素數了。

下表列寫了一些不同長度的連續反素數作例子：

長度	最小的連續反素數	「反過來」的素數
2	13, 17	31, 71
3	71, 73, 79	17, 37, 97
4	1231, 1237, 1249, 1259	1321, 7321, 9421, 9521
5	1958711, 1958731, 1958753, 1958773, 1958777	1178591, 1378591, 3578591, 3778591, 7778591
6	18974551, 18974561, 18974581, 18974591, 18974623, 18974629	15547981, 16547981, 18547981, 19547981, 32647981, 92647981
7	9597192601, 9597192613, 9597192643, 9597192653, 9597192667, 9597192677, 9597192679	1062917959, 3162917959, 3462917959, 3562917959, 7662917959, 7762917959, 9762917959

可逆半素數

同理可逆半素數 (Reversible Semiprime) 又稱作反半素數 (Emirpimes) ，這是一反轉了的半素數也是半素數的數。英文 Emirpimes 也是從 Semiprime (半素數) 中反過來串而成。其中半素數是指一合數僅由兩素數相乘而來。詳見《不是素數的殆素數》一文。當然反半素數亦不包括如 121 等迴文半素數 (Palindromic Semiprime) 吧，故這反半素數也是一雙一對的走到我們眼前。

反半素數的例子如：15, 26, 39, 49, 51, 58, 62, 85, 93, 94, 115, 122, 123, ... (OEIS A097393)

我們研究反半素數的分佈時得到下表：

n	1	2	3	4	5	6	7
10ⁿ 以內的反半素數數目	0	10	90	898	7200	60732	506724

看了上表，閣下有什麼感覺？我看反半素數的分佈是越來越稀疏的。

看 Emirp 和 Prime 或 Emirpimes 也是從 Semiprime 兩對字，令我想起這也許是英文等由字母組成的文字體系的一種美。但在以方塊字組成詞語的中文體系中，這卻行不通了。不然我們看「數素」或「數素半」也真的不知會是什麼東西了。

參考文獻及網址：

Gardner, M. The Magic Numbers of Dr Matrix. Buffalo, New York : Prometheus, p. 230, 1985.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 020 - Reversible Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_020.htm.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 506 - Reversible Primes Again." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_506.htm.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 541 - Emirps Again." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_541.htm.

Weisstein, E. W. "Emirp." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Emirp.html.

Weisstein, E. W. "Emirpimes." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Emirpimes.html.