相似的鄰居 - 重排素數對
相鄰又相似
重排素數對 (Rearrangement Prime Pair) 又名奧米斯頓素數對 (Ormiston Prime Pair) 是指一對相鄰素數的所有數字皆相同，有如把數字重排一般。最早開始注意這重排素數對的是一位澳洲數學教師愛華士 (A. Edwards) 於 2001年 8 月。老實而言，這類素數例子不多且相當隨機，例如 (1913,1931) 、 (18379,18397) 、(19013,19031) 、(25013,25031) 、(34613, 34631) 、... (OEIS A072274 和 A069567)
雖然 179 和 197 的所有數字一樣，但它們中間夾帶了 181、 191 和 193 ，所以這對數不列重排素數偶。雖然重排素數 對相當難捉摸，但我們發現它們大部份是相差 18 的，當中最小的一個反例為 (35617, 35671)。
我們可把重排素數對的概念推廣，若有連續三素數的所有數字是相同的，我們便可稱為重排素數三元組 (Rearrangement Prime Triplet) 或奧米斯頓素數三元組 (Ormiston Prime Triplet)。
有沒有這重排素數三元組？答案是有，由下列素數開始的三個素數便是重排素數三元組：
11117123、 12980783、 14964017、 32638213、 32964341、... (OEIS A075093 )
其中最小的一組是 (11117123, 11117213, 11117321)。當然重排素數三元組亦是重排素數對這一組別中的一員，但只是更稀少的罷了。有沒有更長的重排素數組呢？天知曉，數學家大可在這方面多加發展。
任你怎樣轉
有些素數可以有如此的特性：如 1193，我們把第一個位移至最後，成 1931，再幹得 9311 和 3119，這樣任意的旋轉 (Rotation) 後各項也成素數：此等素數，我們便稱之為環素數 (Circular Prime)。
我們不難知道一環素數的每一個數字也可能走在最前，同時也有機會走在最後，是故這些素數 (獨位素數 Single-digital Prime 除外) 只會由四個數字，即 1、 3、 7、 9 組成。當然所有獨位素數和兩位反素數 (Emirp) 和純元數 (Repunit) 也是環素數的成員。
環素數有下列例子 (只列同一個圓 Circle 中最小的一個素數)：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 19937, 193939, 199933 和 19位、23位、317位、1031位的純元數， 1022 內找不到別的環素數了。
任你怎樣排
排列素數 (Permutable Prime) 是環素數的一個子集 (Subset)，所謂排列素數便是任你把數字怎排也成素數了，又是所有獨位素數和兩位反素數和純元數也是排列素數的成員。
排列素數有以下例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991 和 19位、23位、317位、1031位的純元數。已證沒有一個排列素數含有三種數字或以上，在上例中我們亦看見沒有一個含有當中兩個數字且每個數均出現 2 次或以上，所以有人猜想除純元數外，不會有上表列出以外的排列素數。現在已證 n 介乎 4 和 6 * 10175 之間，找不到任何 n 位非純元數的排列素數。
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Rearrangement Prime Pair." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RearrangementPrimePair.html.
Wikipedia. "Circular Prime." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_prime.
Wikipedia. "Permutable Prime." From Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Permutable_prime.
