費馬的 4n+1 和歐拉的 6n+1
法國數學家費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665) |
瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) |
(照片均取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )
費馬的 4n+1
又有一東西把兩大數學巨頭的名字連在一起：這裡指法國數學家費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665) 和 瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783)。那便是費馬 4n+1 定理 (Fermat's 4n+1 Theorem) 和 歐拉 6n+1 定理 (Euler's 6n+1 Theorem) 了。
這裡介紹費馬 4n+1 定理：「若一素數 p 可寫成 x2 + y2，其中 x 和 y 均為正整數當且僅當 p 為型如 4n+1 的素數 或 p 為 2。」這一定理我們又稱為費馬二平方定理 (Fermat's Two-square Theorem) 或簡稱費馬定理 (Fermat's Theorem)。但費馬此人貢獻良多，稱費馬定理恐引誤會，故本人喜歡多寫數字，以費馬 4n+1 定理稱呼。
首先看看最古怪的素數 (Oddest Prime) ，即 2，2 = 12 + 12。
接下來的可見：
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
5 |
(1,2) |
13 |
(2,3) |
17 |
(1,4) |
29 |
(2,5) |
37 |
(1,6) |
41 |
(4,5) |
53 |
(2,7) |
61 |
(5,6) |
73 |
(3,8) |
89 |
(5,8) |
97 |
(4,9) |
101 |
(1,10) |
109 |
(3,10) |
113 |
(7,8) |
137 |
(4,11) |
149 |
(7,10) |
157 |
(6,11) |
173 |
(4,13) |
181 |
(9,10) |
193 |
(7,12) |
尋找 (x,y) 的方法也不難，只要把那型如 4n+1 的素數寫成 4m+k2，再令 2xy=m 及 (y-x)=k 便得 (x,y) 組合。
歐拉的 6n+1
這裡再介紹歐拉 6n+1 定理：「任何型如 6n+1 的素數皆可寫成 x2 + 3y2，其中 x 和 y 均為正整數，其實任 3n+1 的數也可如此作。」
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
p |
(x,y) |
7 |
(2,1) |
13 |
(1,2) |
19 |
(4,1) |
31 |
(4,3) |
37 |
(5,2) |
43 |
(4,3) |
61 |
(7,2) |
67 |
(8,1) |
73 |
(5,4) |
79 |
(2,5) |
97 |
(7,4) |
103 |
(10,1) |
109 |
(1,6) |
127 |
(10,3) |
139 |
(8,5) |
151 |
(2,7) |
157 |
(7,6) |
163 |
(4,7) |
181 |
(10,9) |
193 |
(1,8) |
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Euler's 6n+1 Theorem." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Eulers6nPlus1Theorem.html.
Weisstein, E. W. "Fermat's 4n+1 Theorem." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Fermats4nPlus1Theorem.html.
