變異的哥德巴赫猜想
若我們把哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 的分柝方法改變少許,便是一道新的問題了。
問題是把任一奇數表成一素數 (Prime Number) 和一個 2 的方冪 (Power) 之和。
如: 5 = 3 + 2 或 17 = 13 + 4 或 33 = 17 + 16 或 65 = 61 + 4 等等。
這問題既像哥德巴赫猜想,又有點似孿生素數 (Twin Primes),頗有趣。這問題最先由波歷納克 (Alphonse de Polignac 1826-1863) 於 1849年提出:「每個奇素數均為一奇素數和一個 2 的方冪之和。」但很快他便發現自己的錯,959,這一個數竟無法以上述方法表示。
959 |
- |
2 |
= |
957 |
= |
3 * 11 * 29 |
959 |
- |
4 |
= |
955 |
= |
5 * 191 |
959 |
- |
8 |
= |
951 |
= |
3 * 317 |
959 |
- |
16 |
= |
943 |
= |
23 * 41 |
959 |
- |
32 |
= |
927 |
= |
32 * 103 |
959 |
- |
64 |
= |
895 |
= |
5 * 179 |
959 |
- |
128 |
= |
831 |
= |
3 * 277 |
959 |
- |
256 |
= |
703 |
= |
19 * 37 |
959 |
- |
512 |
= |
447 |
= |
3 * 149 |
959 |
= |
7 * 137 |
後來數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 也研究過這問題,且證明存在一由奇整數組成的數列,其中每一個成員均如 959 一樣那麼「不同凡響」,每一個成員均不可以 p + 2k 的型式存在。
整數 n = 7、15、21、45、75 和 105 滿足以下性質:對每個 2k < n,n - 2k 均為素數。愛爾特希猜想滿足上述性質的奇整數便只有這六個 (偶數 4 也滿足上述性質),是否如此,這便留待有心人開發了。
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
|
n = 7 |
5 |
3 |
||||
n = 15 |
13 |
11 |
7 |
|||
n = 21 |
19 |
17 |
13 |
5 |
||
n = 45 |
43 |
41 |
37 |
29 |
13 |
|
n = 75 |
73 |
71 |
67 |
59 |
43 |
11 |
n = 105 |
103 |
101 |
97 |
89 |
83 |
41 |
參考文獻及網址:
Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991