把兩個素數加起來
我們看看這一素數集 (Set of Primes):{2, 3, 5, 13, 17, 41, 61, 67, 83, 101}。
此素數集符合下列要求:
1. 當中每元素均是不同的素數 (Prime Number)。
2. 當中任何兩個元素 (包括相同或不同的素數) 的和,我們稱為「兩兩和 (Pairwise Sum)」都是不同的。
詳可參閱下表:
2 |
3 |
5 |
13 |
17 |
41 |
61 |
67 |
83 |
101 |
|
2 |
4 |
5 |
7 |
15 |
19 |
43 |
63 |
69 |
85 |
103 |
3 |
6 |
8 |
16 |
20 |
44 |
64 |
70 |
86 |
104 |
|
5 |
10 |
18 |
22 |
46 |
66 |
72 |
88 |
106 |
||
13 |
26 |
30 |
54 |
74 |
80 |
96 |
114 |
|||
17 |
34 |
58 |
78 |
84 |
100 |
178 |
||||
41 |
82 |
102 |
108 |
124 |
142 |
|||||
61 |
122 |
128 |
146 |
162 |
||||||
67 |
134 |
150 |
168 |
|||||||
83 |
166 |
184 |
||||||||
101 |
202 |
我們姑且稱這個集合為異兩兩和素數集 (Set of Distinct Pairwise-sum Primes)。到底對於每一不同的素數個數 k,這素數集中最大素數 pk 最小可以是多少呢?而這些素數集又是什麼模樣呢?(原來我討來這個例子中的 101 不是 p10 中最小的結果,89 才是真命天子。)
當 k = 2 時,我們不難發現 {2, 3} 便是當中的異兩兩和素數集,這素數 3 也自然成為當中的最小值,我們當然理解沒有一個可能結果比 3 還要小。當 k = 3 時,我們也找到 {2, 3, 5}。但當 k 越來越大時,我們再不易碰到答案,當然計算兩兩和的矩陣 (Pairwise-sum Matrix) 也要更大。
其實這類尋找最大中的最小或最小中的最大的問題,在數學界甚為常見,如在運籌學 (Operation Research) 中找尋最優解 (Optimal Solution),中學時學到的線性規劃 (Linear Programming) 也屬此類。
數學愛好者費迪.舒尼達 (Fred Schneider)利用程式之助,對此問題有所發現,詳列如下:
k |
Primes |
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
5 |
|||||||||||||||||
4 |
2 |
3 |
5 |
11 |
||||||||||||||||
2 |
3 |
7 |
11 |
|||||||||||||||||
5 |
2 |
3 |
5 |
13 |
17 |
|||||||||||||||
2 |
3 |
11 |
13 |
17 |
||||||||||||||||
2 |
5 |
7 |
11 |
17 |
||||||||||||||||
2 |
5 |
7 |
13 |
17 |
||||||||||||||||
2 |
5 |
11 |
13 |
17 |
||||||||||||||||
6 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
13 |
17 |
23 |
|||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
13 |
19 |
23 |
|||||||||||||||
2 |
3 |
11 |
13 |
17 |
23 |
|||||||||||||||
2 |
3 |
11 |
13 |
19 |
23 |
|||||||||||||||
2 |
3 |
11 |
17 |
19 |
23 |
|||||||||||||||
7 |
2 |
3 |
5 |
13 |
17 |
31 |
37 |
|||||||||||||
2 |
3 |
7 |
17 |
19 |
31 |
37 |
||||||||||||||
2 |
3 |
7 |
17 |
29 |
31 |
37 |
||||||||||||||
2 |
3 |
7 |
19 |
29 |
31 |
37 |
||||||||||||||
2 |
3 |
11 |
13 |
19 |
23 |
37 |
||||||||||||||
2 |
3 |
13 |
17 |
29 |
31 |
37 |
||||||||||||||
2 |
5 |
7 |
11 |
17 |
29 |
37 |
||||||||||||||
8 |
2 |
3 |
11 |
13 |
23 |
29 |
43 |
47 |
||||||||||||
9 |
2 |
5 |
7 |
11 |
17 |
29 |
37 |
53 |
67 |
|||||||||||
2 |
5 |
7 |
17 |
19 |
31 |
37 |
59 |
67 |
||||||||||||
10 |
2 |
3 |
5 |
13 |
23 |
37 |
41 |
67 |
83 |
89 |
||||||||||
2 |
3 |
5 |
17 |
37 |
53 |
61 |
79 |
83 |
89 |
|||||||||||
2 |
3 |
5 |
19 |
23 |
31 |
43 |
53 |
83 |
89 |
|||||||||||
2 |
3 |
11 |
13 |
23 |
43 |
47 |
61 |
83 |
89 |
|||||||||||
11 |
2 |
3 |
13 |
29 |
37 |
59 |
71 |
89 |
103 |
107 |
109 |
|||||||||
12 |
2 |
3 |
11 |
13 |
23 |
37 |
67 |
71 |
103 |
109 |
131 |
149 |
||||||||
13 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
29 |
67 |
71 |
107 |
157 |
179 |
191 |
211 |
|||||||
14 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
29 |
47 |
89 |
127 |
167 |
179 |
199 |
229 |
233 |
||||||
15 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
73 |
83 |
127 |
167 |
193 |
241 |
269 |
293 |
|||||
16 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
293 |
409 |
463 |
||||
17 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
293 |
359 |
479 |
547 |
|||
18 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
359 |
479 |
547 |
571 |
613 |
||
19 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
293 |
401 |
487 |
607 |
631 |
677 |
|
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
293 |
409 |
463 |
607 |
653 |
677 |
||
20 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
409 |
463 |
607 |
617 |
659 |
683 |
751 |
21 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
409 |
463 |
503 |
571 |
617 |
769 |
821 |
887 |
||||||||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
293 |
373 |
499 |
569 |
593 |
757 |
811 |
877 |
|
887 |
||||||||||||||||||||
22 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
353 |
461 |
547 |
587 |
661 |
823 |
911 |
953 |
977 |
|||||||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
359 |
461 |
503 |
577 |
647 |
773 |
853 |
|
967 |
977 |
|||||||||||||||||||
23 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
353 |
479 |
547 |
571 |
701 |
853 |
863 |
971 |
1087 |
1129 |
||||||||||||||||||
24 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
353 |
461 |
547 |
673 |
683 |
797 |
863 |
1063 |
1087 |
1181 |
1249 |
|||||||||||||||||
25 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
409 |
463 |
607 |
677 |
797 |
877 |
991 |
1049 |
1213 |
1301 |
1367 |
1409 |
||||||||||||||||
26 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
337 |
463 |
557 |
677 |
757 |
929 |
1051 |
1249 |
1259 |
1301 |
1453 |
1493 |
1559 |
|||||||||||||||
27 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
293 |
409 |
479 |
613 |
659 |
733 |
857 |
1009 |
1217 |
1361 |
1531 |
1597 |
1733 |
1787 |
||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
337 |
461 |
563 |
587 |
751 |
887 |
1009 |
|
1181 |
1381 |
1543 |
1583 |
1657 |
1777 |
1787 |
||||||||||||||
28 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
293 |
409 |
479 |
631 |
733 |
853 |
983 |
1163 |
1249 |
1367 |
1447 |
1571 |
1759 |
1867 |
1973 |
|||||||||||||
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
337 |
463 |
571 |
659 |
829 |
853 |
1019 |
|
1153 |
1223 |
1429 |
1559 |
1759 |
1811 |
1931 |
1973 |
|||||||||||||
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
337 |
463 |
587 |
739 |
853 |
941 |
1061 |
|
1231 |
1367 |
1489 |
1531 |
1597 |
1831 |
1931 |
1973 |
|||||||||||||
29 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
337 |
463 |
571 |
677 |
829 |
953 |
1087 |
1259 |
1283 |
1447 |
1489 |
1667 |
1783 |
2039 |
2131 |
2141 |
||||||||||||
30 |
2 |
3 |
5 |
11 |
19 |
23 |
41 |
67 |
101 |
151 |
179 |
251 |
283 |
337 |
463 |
593 |
659 |
811 |
983 |
1063 |
1171 |
1289 |
1487 |
1609 |
1823 |
1987 |
2029 |
2153 |
2221 |
2273 |
當然在更大的 k 我們也會找到相關的素數組。但若我們把兩兩和改為三三和或四四和又如何呢?大家不如也動動腦筋好了。
參考文獻及網址:
Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 356 - A Minimal Set of K Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_356.htm.