沒人會用的判別法
英國數學家華林 (Edward Waring 1736 - 1798)
(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )
威爾遜定理
其實喜愛數學真的不會分職業的，約翰．威爾遜 (John Wilson 1741-1793) 爵士本身是一英國法官。原來其發現了數論中一個極為稀罕的關係，連逆定理也成立。有位外國數論專家曾說過：如果一個人不知道威爾遜定理 (Wilson's Theorem) ，那他就白學了數論。
但威爾遜並沒有對此發現大重視，若不是其朋友英國數學家華林 (Edward Waring 1736 - 1798)，劍橋大學 (University of Cambridge) 的數學教授發表了他的研究結果，那麼又是一條費馬大定理 (Fermat's Last Theorem) ，十之八九被人遺忘，或在其子女替他整理遺物在被公開。
但是威爾遜爵士也好，好友華林也好，甚至是微積分共同發明人德國數學家萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646-1716)，他比威爾遜更早知到這關係，同樣沒法驗證其發現。1770年華林在其代數學的著作中發表了威爾遜的發現，1771年法國數學家拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange 1736-1813) 便給出證明，正是萊布尼茨發表後一百年。其實說正確的應是「萊布尼茨定理」、「拉格朗日定理」而非「威爾遜定理」，但事情卻是這樣發生了，歷史便是這樣的了。現在亦有人稱這定理為威爾遜 - 拉格朗日定理 (Wilson - Lagrange Theorem)。
下文便是解釋威爾遜爵士的發現：
取得從 1 到某素數的所有連續正整數的乘積，如取 1 * 2 * 3 * ...... * 11 ，記作 11! ( 11 的階乘 Factorial) 。顯然易見，11! 是可被 1 至 11 整除。現在我們看看 10! ，因 11 是素數，這數當然不會是 11 的倍數 ，如果是 10!+1 又怎樣？ 看看 6! + 1 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 + 1 = 721 正是 7的倍數；4! + 1 = 1 * 2 * 3 * 4 + 1 = 25 正是 5 的倍數：原來這一性質只合用於素數，合數 則不可。
用數學的說法是：任一數 n ，若 (n-1)!+1=0 (mod n) 即 (n-1)!+1 是 n 的倍數，則 n 為素數。反之，定某素數 p ，(p-1)!+1 = 0 (mod p) 必成立，即 (p-1)!+1 是 p 的倍數。
這定理證明倒不太困難，但我只證其中一個方向：
我們看到若取 p=2， (2-1)! + 1 = 1! + 1 = 2，正是 2 的倍數。
現考慮奇素數 p，看看 (p-1)!，即 1 * 2 * 3 * ... * (p-1)，由於若 p 為素數則 1 至 (p-1) 均於 p 互素 (Coprime)。是故對於當中每一個數 a (a 介乎 1 與 p-1 之間)，必然存在一個 b (b 亦介乎 1 與 p-1 之間) 使 a*b = 1 (mod p)，這個 b 是唯一的。(若 p 不是素數，對於某些與 p 不互素的數 a，則不存在對應的 b。)
然而，我們不排除一個可能性 a 與 b 為同一個數，即 a = b 或 a2 = 1 (mod p)。
換句話來說， p 整除 a2 - 1 = (a-1) * (a+1)，由於 p 為素數，即 p 整除 (a-1) 或 (a+1)，即 a = 1 或 (p-1) (mod p)。
所以在 1 至 (p-1) 當中除 1 和 (p-1)外，其餘的皆成雙成對，在模 p 下乘積為 1，故 (p-1)! + 1 = 1 * 1 * (p-1) + 1 = p-1 + 1 = p = 0 (mod p)。
這樣便證明到定理的一個方向。而另一方句的證明，則留給各位讀者細嘗了。
威爾遜商
或考慮 W(p) = [(p-1)! + 1] / p ，這稱為威爾遜商 (Wilson Quotient)。若某數的威爾遜商為整數，即該數為 1 或素數。
下表列出威爾遜定理的一些測試結果：
| n | (n-1)! | (n-1)!+1 | [(n-1)!+1] 除以 n 的餘數 |
素性 |
|
| 2 | 1!= |
1 |
2 |
0 |
素數 |
| 3 | 2!= |
2 |
3 |
0 |
素數 |
| 4 | 3!= |
6 |
7 |
1 |
合數 |
| 5 | 4!= |
24 |
25 |
0 |
素數 |
| 6 | 5!= |
120 |
121 |
1 |
合數 |
| 7 | 6!= |
720 |
721 |
0 |
素數 |
| 8 | 7!= |
5040 |
5041 |
1 |
合數 |
| 9 | 8!= |
40320 |
40321 |
1 |
合數 |
| 10 | 9!= |
362880 |
362881 |
1 |
合數 |
| 11 | 10!= |
3628800 |
3628801 |
0 |
素數 |
| 12 | 11!= |
39916800 |
39916801 |
1 |
合數 |
| 13 | 12!= |
479001600 |
479001601 |
0 |
素數 |
| 14 | 13!= |
6227020800 |
6227020801 |
1 |
合數 |
| 15 | 14!= |
87178291200 |
871278291201 |
1 |
合數 |
大家可知要判斷 15 的素性 (Primality)，先要弄到 14! 。若要判斷 101 的素性，要討取 100! ，可不易事。若要判斷更大的素數，工作量也是級數般上升。這一發現是重要，但卻沒有人會用這一素數的判別法吧。
一道公式
順便一言， 有沒有真的素數公式？即代入任何數字也可得出素數答案的公式？那當然是有的，但卻有點取巧。
其中，
只要 x 和 y 均取正值，答案必為素數，網友可自行驗算。
原因若何？原來這正和威爾遜定理相關。
由於大部份情況下，
，所以答案只會是 2
；或當 
、
時的
故上公式只會在特定的情況給出奇素數，即取 x 為威爾遜商的情況。
參考文獻及網址：
Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 61, 1987.
Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 142-143 and 168-169, 1996.
Weisstein, E. W. "Prime-Generating Polynomial." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html.
Weisstein, E. W. "Wilson Quotient." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/WilsonQuotient.html.
Weisstein, E. W. "Wilson's Theorem." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/WilsonsTheorem.html.
馮克勤, 由整數談起, 長沙：湖南教育出版社, 頁 67, 1998
